20.2.2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР

Чтобы проиллюстрировать формализм моделей в фазовом пространстве, предположим, что процесс (например, расход воды в реке в данной точке) описывается авторегрессионной схемой

где шум обусловлен несовершенством представления через а константы с считаются известными [см. Weiss (1980)].

Хотя для нас существенный интерес представляет лишь величина она не годится в качестве фазовой переменной, поскольку является функцией не только но также Однако если рассматривать в момент вектор

то он будет содержать всю требуемую информацию о процессе и

Уравнение системы можно записать так:

т. е. в виде

где

Хотя уравнение (20.2.8) выглядит проще, чем (20.2.5), эта простота кажущаяся, поскольку (20.2.8) является векторным уравнением с векторными переменными и матричным коэффициентом

Уравнение измерения, отвечающее уравнению системы (20.2.7), формулируется следующим образом. В момент времени производится измерение величины (т. е. измеряется только первая компонента вектора Это измерение содержит ошибку и, следовательно,

где — погрешность измерения. В терминах фазовой переменной это можно записать в виде

или, в векторных обозначениях,

где

В дальнейшем будем предполагать, что среднее значение равно нулю. Если среднее значение — известная величина У, то измерение может быть переопределено путем вычитания из него

Уравнение системы можно применять для прогноза. Так, в предположении, что известно, вычисляется значение

отличающееся от только на величину шума Поскольку не зависит от (иными словами, не содержит никакой информации о ), прогнозируется своим средним значением, равным нулю.

Прогноз есть

и, следовательно, для прогноза имеем

что в векторных обозначениях записывается в виде

Ошибка прогноза (20.2.14) есть вектор

совпадающий с шумом системы в момент .