Рис. 19.2.1. Типичное множество риска для проверки гипотезы 
против 
Вычислим риск 
равен вероятности отклонить гипотезу 
когда она истинна 
Точно так же
равен вероятности отклонить гипотезу 
когда она истинна 
Напомним [см. раздел 5.12.2], что а называется ошибкой I рода, а 
— ошибкой II рода.
Чтобы нарисовать множество риска О [см. раздел 19.1.4], заметим прежде всего, что точки риска 
и 
соответствуют двум критериям, из которых один всегда принимает, а другой всегда отклоняет гипотезу 
(независимо от значения 
Поэтому эти точки всегда входят в 
Заметим еще, что множество 
симметрично относительно прямой, проходящей через точки 
и 
, поскольку у каждого критерия, соответствующего разбиению выборочного пространства 
есть «симметричный образ», соответствующий разбиению 
т. е. перестановке 
Наконец, множество 
должно быть выпукло. Учитывая все это, получим, что геометрическое представление множества 
типичное для задач проверки гипотез, имеет вид, изображенный на рис. 19.2.1.
Как мы видели в разделе 19.1.4, точки риска, соответствующие байесовским критериям, являются точками касания прямых, идущих с северо-запада на юго-восток с наклоном — 
Для такого множества риска минимаксный критерий соответствует точке, в которой биссектриса первого координатного угла пересекает нижнюю (юго-западную) границу множества 
. В частности, при минимаксном критерии величины ошибок I и II рода равны 
Допустимые критерии характеризуются тем, что соответствующие им точки риска лежат на нижней (юго-западной) границе множества «
Стоит заметить, что эта граница состоит из точек, минимизирующих ошибку II рода 
при заданной величине ошибки I рода а. Но именно эти точки выделяются при подходе Неймана—Пирсона к построению критериев [см. раздел 5.12]. Другими словами, в них достигается максимум мощности 
при фиксированном размере критерия 
Более того, лемму Неймана—Пирсона можно теперь сформулировать как теорему из теории принятия решений.
Лемма Неймана—Пирсона. При использовании функции потерь ноль-один в задаче проверки простой гипотезы 
против простой альтернативы 
допустимые критерии определяются условием
а 
определяется разбиением выборочного пространства 
так что
