Рис. 15.2.1. (см. скан) Поэтапное изучение с использованием теоремы Байеса
Если их просто скомбинировать и образовать одно множество, обозначаемое как 
то, задавая вид правдоподобий 
можно продолжить рассмотрение таким же образом, как в предыдущем разделе, чтобы получить апостериорные вероятности 
Однако во многих практических ситуациях данные поступают последовательно, так что 
появляется раньше, чем 
и мы хотим сначала проанализировать наши вероятности в свете 
а позднее пересмотреть их в свете 
Схематически этот процесс изображен на рис. 15.2.1.
С точки зрения здравого смысла у нас есть надежда прийти к одинаковым конечным апостериорным вероятностям 
независимо от того, поступили ли данные 
все одновременно и теорема Байеса применялась один раз или два, как на рис. 15.2.1.
Действительно, легко проверить математически, что этот результат, основанный на здравом смысле, вполне правильный.
Предположим, что у нас имеются наблюдения 
и первый этап, изображенный на рис. 15.2.1, завершен. Тогда, вспомнив, что все «входы» изображенного на рисунке второго этапа условны по 
получим необходимые для применения теоремы Байеса на втором этапе величины:
и
Пользуясь теоремой Байеса, получим:
где
Однако в результате применения теоремы Байеса на первом этапе имеем:
Подставляя это выражение в выражение 
получим:
Но к такому же результату приводит и однократное применение теоремы Байеса для объединенного множества данных 
Следовательно, искомый результат получен.
Отметим еще два момента:
а) как схему, изображенную на рис. 15.2.1, так и проведенные математические рассуждения можно обобщить на любое число этапов (порций данных);
б) часто встречаются ситуации, когда множества данных 
условно зависящие от каждого из 
содержат независимую информацию, такую, что 
Это упрощает вычисления.
Пример 15.2.4. При предварительном медицинском обследовании пациента обнаружено, что он находится в одном из взаимоисключающих медицинских состояний 
каждое из которых первоначально оценивается как равновероятное. При дальнейшем обследовании выявилось наличие симптома X (данные 
) и симптома 
(данные 
), о которых известно, что они существуют независимо друг от друга, если задано какое-либо конкретное медицинское состояние. Имеются многочисленные прошлые записи, позволяющие врачам рассчитать 
для 
Ниже суммируются полученные результаты:
Используя эти значения, можно рассмотреть вероятности состояний 
взяв сначала 
а затем на втором этапе включив 
. С помощью теоремы Байеса на первом этапе получим:
где
Отсюда
На втором этапе, учитывая независимость 
при заданных 
запишем теорему Байеса в виде
где
Рис. 15.2.2. (см. скан) Последовательный пересмотр 
данные)
В результате получим:
Пересчет этих вероятностей по мере увеличения количества информации продемонстрирован на рис. 15.2.2.
а также заданные вероятности 
Однако данные на этот раз получены в два этапа, что выражается в наличии двух множеств данных 
