18.7.4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ СС

Поскольку модель — конечная форма ОЛМ (18.6.1), прогноз значения по известным можно просто выразить через значения для преобразовав соответствующим образом формулу (18.6.41):

Так, например, если то

Из обращенной формы модели (18.6.38), в данном случае имеющей вид (18.6.39), в свою очередь следует соотношение

которое в точной форме выражает зависимость прогноза от предыдущих наблюдений.

На практике наблюдения имеют конечную протяженность, например но, предположив, что параметры модели были оценены, мы в процессе оценивания получили бы участвующие в (18.7.19) остатки что и дало бы нам значения, которые нужно подставить вместо в (18.7.23). Если велико и в не слишком близко к единице, т. е. мало, использование значений может оказаться приемлемым.

Альтернативная возможность борьбы с конечной протяженностью данных — это четкий и эффективный метод, известный как обратное прогнозирование, который мы продемонстрируем снова на примере модели Для удобства мы будем обозначать просто через прогноз за пределами интервала и через — соответствующие остатки или ошибки прогноза. Мы знаем, что

Мы уже пользовались в разделе 18.5.4 тем, что структура временного ряда, рассматриваемого в обратном направлении - с уменьшением времени, в точности совпадает со структурой в прямом направлении, т. е. мы можем по аналогии написать

где — ошибка при прогнозировании по будущим значениям По аналогии с (18.7.26) мы имеем

а поскольку — линейная комбинация то в соответствии с обращенной формой модели далее имеем

так что за пределами интервала все величины равны нулю, если известны лишь . Далее рассуждаем следующим образом.

Если было бы известно, мы могли бы восстановить с помощью соотношения

поскольку мы знаем, что . Тогда мы можем положить (используя равенство

Аналогично если бы было известно, то мы могли бы восстановить по формуле

поскольку нам известно, что . Но тогда мы можем положить (учитывая равенство

Эта процедура не является порочным кругом. Начиная с некоторого приближения для скажем мы можем циклически использовать последние четыре уравнения, получая итеративный процесс, быстро сходящийся к истинным значениям величина ошибки на каждой итерации умножается на величину Поэтому эта процедура широко применяется не только при прогнозировании, но и для вычисления или, более точно, в рамках процедуры построения оценок в разделе 18.7.3. Все это легко переносится на случай больших значений и при этом не требуется решения больших систем уравнений. Для модели легко вывести точную форму конечного предиктора. Заменяя в на при на имеем

Аналогичное соотношение верно и в обращенном времени:

Подставив выражение для из (18.7.34) в (18.7.33), получаем

Отметим, что коэффициент при выражает ЧАКФ для модели

Подобное приближенно геометрическое убывание, наблюдаемое в выборочной ЧАКФ, служит свидетельством пригодности модели