19.3.2. ОДНОМЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

Дальнейшее изучение рассматриваемых проблем может привести к более точному математическому пониманию и представлению типов функций полезности, ранее введенных (с иллюстративными целями мы сосредоточим внимание на убывающей частной полезности денег).

Если предположить, что функция полезности непрерывна, то для «честного» денежного пари с исходами получим

и поэтому существует такая величина что и

Эта ситуация показана на рис. 19.3.4.

Величину можно представлять себе как «отступные», или выкуп, который игрок еще хотел бы заплатить, чтобы избежать обязанности менять существующее состояние С на участие в (честной, но неопределенной) игре с исходами C+S и С-S.

Эти доводы, очевидно, обобщаются в случае убывающей частной полезности на любую игру, включающую возможность перехода от С к , где X — случайная величина с нулевым средним (в рассмотренном простом случае X с вероятностью 1/2 принимает значения ±S). Выкуп определяется из уравнения

где математическое ожидание вычисляется по распределению вероятностей величины X.

Чтобы лучше понять смысл выкупа который сам по себе может служить мерой нежелания рисковать, предположим, что дисперсия (назовем ее достаточно мала, так что переходы происходят в небольшой окрестности исходного состояния стало быть, и также мал). Если теперь разложить обе части предыдущего уравнения в ряд Тейлора [см. IV, раздел 3.6], то получим

и

В первом выражении мы отбросили все члены, начиная с а во втором — с Если наши предположения разумны, то, приравнивая эти два выражения, получим

Отсюда видно, что величина — играет фундаментальную роль в определении меры (локального) неприятия риска. Чем она больше, тем больший выкуп готов заплатить игрок (что указывает на высокую степень нежелания рисковать).

Полученное представление поможет нам выбрать вид функции полезности Например, предположим, что мы знаем (или предполагаем), что для заданного распределения исходов X степень нежелания рисковать игрока не зависит от С, так что и не должно зависеть от С. Тогда должно быть

где к — некоторая постоянная.

Это дифференциальное уравнение легко решить, и если определить высшую и низшую точки на шкале полезности как то получим решение

Это сильное заключение. В нем утверждается, что если игрок (в рассматриваемой области изменения значений руководствуется убывающей частной полезностью денег и постоянным уровнем нежелания рисковать, то ему соответствует однозначно определенное математическое представление функции полезности, требующее задание только одного параметра. При увеличении этого параметра меняется и вид функции полезности, и она становится все более крутой вначале, как это показано на рис. 19.3.5.

В действительности большинству игроков свойственно убывание неприятия риска; другими словами, убывает с ростом С. Это приводит к тем большему желанию рисковать, чем большим активом он располагает.

Полученное представление можно использовать для изучения нежелания рисковать при различных формах функции полезности. Например, можно рассмотреть случай (по крайней мере в некотором диапазоне значений исходного капитала). Непосредственное дифференцирование показывает, что в этом случае

и, следовательно, эта функция соответствует уменьшающемуся нежеланию рисковать.

В этом разделе мы дали только краткое введение в то, как можно математически изучить и описывать полезность. Намного более обширное изложение можно найти в книге: Н. Raiffa, R. L. Keeney. Decision-Making with Conflicting Objectives.

Рис. 19.3.5. Формы функций полезности: