12.3.6. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Выборочные свойства оценок линейных моделей в условиях нормального распределения были установлены в разделе 12.2. К сожалению, для обобщенных линейных моделей, т. е. в условиях распределения отклонений, отличного от нормального, подобной теории для конечных объемов выборок не существует. Здесь в лучшем случае, при больших объемах выборок, можно воспользоваться лишь приближениями, основанными на ассимптотической теории оценок максимального правдоподобия [см. раздел 6.2.5, а)].

Напомним, что логарифм функции правдоподобия линейной модели с произвольным распределением отклонений может быть приближенно записан как

где причем

и

зависят от неизвестного параметра Нетрудно показать, что для линейной модели с нормально распределенными отклонениями и разными дисперсиями (взвешенный метод наименьших квадратов) приближенное равенство превращается в точное. Для этой модели и поэтому Поскольку по условию вектор у нормально распределен, последняя величина также нормально распределена. Это замечание позволяет получить для данной модели точные распределения оценок.

В общем случае величина при условии, что независимо распределены, будет иметь асимптотически-нормальное распределение, что следует из хорошо известной центральной предельной теоремы. Отсюда можно получить асимптотическое выборочное распределение для оценки параметра и других необходимых статистик. Они будут такими же, как и для взвешенной нормальной модели.

Вернемся к разделу 12.3.4, где рассматривался пример с экспоненциальным распределением. Для этого случая причем находится из уравнения

Значение может быть найдено, например, итеративно-взвешенным методом наименьших квадратов по формуле

где Асимптотическое распределение оценки 0 совпадает с распределением случайной величины где координаты вектора независимы и одинаково распределены.

Асимптотическая теория выборочных распределений оценок обеспечивает достаточно хорошие результаты в большинстве практических ситуаций. Однако поскольку эти результаты не являются точными, некоторые важные задачи остаются нерешенными, например, задачи адекватного анализа отклонений в произвольной обобщенной линейной модели.

12.4. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ

(см. скан)