15.5.3. ВЫВОДЫ В СЛУЧАЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

а) Неизвестное среднее, известная дисперсия. Если — случайная выборка из нормального распределения с неизвестным средним и известной дисперсией то из (2.5.1) получим вероятностную модель

Для проведения байесовского анализа необходимо задать вид и рассчитать

Хотя при любом выборе апостериорную плотность можно рассчитать численными методами, представляет определенный интерес, так же как и в разделах 15.5.1 и 15.5.2, исследование вида когда задается конкретное математическое выражение . В этом случае выбранная в виде

функция отражает вид распределения параметра концентрирующегося около значения а и спадающего симметрично в обе стороны от него так же, как изменялась бы кривая нормального распределения.

Параметр дисперсии отражает степень определенности наших убеждений. Если мало, то кривая будет крутой с острым пиком; если велико, то кривая будет пологой и простираться далеко в сторону (т. е. представления носят неопределенный, размытый характер).

Чтобы вывести выражение для апостериорной плотности, заметим, что

Отметив, что

где остальные (опущенные) члены не содержат увидим, выписав полностью члены этого выражения, что

Из полученного выражения ясно, что апостериорное распределение будет нормальным со средним

и дисперсией

Полученные выше результаты кратко можно суммировать так:

Мы видим, что снова а имеет вид взвешенного среднего от х (основанная на данных наблюдений оценка и а (априорное среднее для Если мала по сравнению с то больший вес придается . В последнем случае, соответствующем относительно неопределенным априорным представлениям, можно сказать, что апостериорное распределение будет приближенно нормальным со средним х и дисперсией Иначе говоря, в терминах апостериорных представлений относительно при заданном х величина

имеет стандартное нормальное распределение [см. II, раздел 11.4.1]. Правдоподобные интервалы для можно получить с помощью простых вычислений, воспользовавшись таблицами нормального распределения [см. приложение 4], чтобы найти верхнюю и нижнюю процентные точки.

Важно не смешивать приведенные выше результаты с утверждением, что при заданном статистика

имеет стандартное нормальное распределение. Распределение вероятностей, на основании которых делаются оба утверждения (т. е. распределение X при заданных значениях и распределение при заданных значениях относятся к различным типам; одно из них определяется с помощью вероятностной модели а другое — с помощью распределения описывающего вид представлений, полученных на основании теоремы Байеса. С другой стороны, численные выражения правдоподобных и доверительных интервалов (при заданном уровне будут одинаковыми для любых заданных значений

Таким образом, когда априорные представления относительно расплывчаты, числовые выражения, получаемые статистиками, использующими байесовский подход, не будут отличаться от результатов, полученных статистиками, пользующимися небайесовскими методами, несмотря на то, что применяемые методы выведены совершенно различным образом. Однако заметим, что если априорные представления будут не очень расплывчаты по сравнению с информацией, содержащейся в данных наблюдений (т. е. если нельзя считать малой по сравнению с то не будет существовать единственного результата байесовского анализа и, следовательно, не будет совпадения с результатами, полученными небайесовскими методами.

б) Неизвестное среднее, неизвестная дисперсия. В более распространенной ситуации, когда не известны ни ни приходится задавать вид априорной совместной функции плотности для двух неизвестных параметров, чтобы вывести вид функции апостериорной совместной плотности

Чтобы рассмотреть множество возможных ситуаций, возникающих при определении вида потребовалось бы провести обсуждение самого общего характера. Например, должны ли быть, априорные представления относительно независимыми для того, чтобы можно было записать в виде — произведения оцененных раздельно значений маргинальных плотностей для Очевидно, что конкретный выбор будет зависеть от соображений подобного рода, которые невозможно отразить в однопараметрическом случае.

Мы не будем приводить здесь перечень возможных вариантов анализа соотношений между априорными и апостериорными представлениями, а только кратко рассмотрим частный случай независимых и расплывчатых априорных представлений относительно Причины такого выбора станут ясны позднее.

При проведении анализа этого особого случая поступим следующим образом. Сначала припомним, что в предыдущем разделе неизвестно, а известно) «расплывчатые» априорные выражения для представлений относительно получены путем рассмотрения априорной нормальной плотности, дисперсия 0 которой считалась большой. Это приводило к тому, что функция имела очень плоскую форму, такую, что можно было принять приближенно постоянной. Аналогично в разделе 15.5.2 было показано, что расплывчатая априорная спецификация параметра, имеющего положительные значения, могла получиться при рассмотрении гамма-плотности с параметрами при малых значениях этих параметров. Перенося последнюю идею на случай и присоединяя ее к упомянутому выше предположению о приближении в виде «постоянной», находим, что результирующая «расплывчатая априорная аппроксимация» Конечно, она не является представлением плотности вероятностей в верном смысле и не может всерьез рассматриваться как подлинное выражение априорных представлений. Скорее ее можно интерпретировать следующим образом. Если бы мы собирались оценить и найти выражения для подлинных представлений, когда они оказываются «очень расплывчатыми» в том смысле, что апостериорная плотность будет сильно зависеть от того, «что говорят данные» (т. е. правдоподобие будет иметь более узкую заостренную форму, чем априорная плотность), то результирующие апостериорные представления, полученные из оцененных соответствующим образом априорных представлений, совсем немного отличались бы от тех, которые получены при аппроксимации такого вида. Поэтому при выборе легко прийти к удобному приближенному «урезанному» выражению для иллюстрации характера выводов, возникающих в этом случае.

Пользуясь теоремой Байеса, получаем

Чтобы найти маргинальные апостериорные плотности для нужно проинтегрировать это выражение совместной плотности сначала по а затем по Подробности этой процедуры просты, но сами

по себе они не представляют особого интереса, поэтому мы просто приводим результаты интегрирования. Когда речь идет о они сводятся к тому, что величина

имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы [см. раздел 2.5.5]. Что касается параметра то величина

имеет распределение степенями свободы [см. раздел 2.5.4, а )].

Интервальные оценки для можно легко получить из стандартных таблиц и -распределений.

Необходимо подчеркнуть, что распределения рассмотренных выше величин основаны на приближенном апостериорном распределении представлений относительно при заданных значениях данных

Эти результаты могут напомнить похожие, но отличающиеся в концептуальном смысле результаты, основанные на частотной интерпретации, которые приводились в разделе 5. Те результаты выводятся исходя из частотных распределений X и при заданных Однако снова (как и в предыдущих разделах) можно увидеть, что, когда байесовский анализ проводится на основе расплывчатых априорных представлений, выводы, о которых здесь говорилось, будут иметь численное выражение, тождественное выводам, к которым приводят небайесовские методы.