Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

15.5.3. ВЫВОДЫ В СЛУЧАЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

а) Неизвестное среднее, известная дисперсия. Если — случайная выборка из нормального распределения с неизвестным средним и известной дисперсией то из (2.5.1) получим вероятностную модель

Для проведения байесовского анализа необходимо задать вид и рассчитать

Хотя при любом выборе апостериорную плотность можно рассчитать численными методами, представляет определенный интерес, так же как и в разделах 15.5.1 и 15.5.2, исследование вида когда задается конкретное математическое выражение . В этом случае выбранная в виде

функция отражает вид распределения параметра концентрирующегося около значения а и спадающего симметрично в обе стороны от него так же, как изменялась бы кривая нормального распределения.

Параметр дисперсии отражает степень определенности наших убеждений. Если мало, то кривая будет крутой с острым пиком; если велико, то кривая будет пологой и простираться далеко в сторону (т. е. представления носят неопределенный, размытый характер).

Чтобы вывести выражение для апостериорной плотности, заметим, что

Отметив, что

где остальные (опущенные) члены не содержат увидим, выписав полностью члены этого выражения, что

Из полученного выражения ясно, что апостериорное распределение будет нормальным со средним

и дисперсией

Полученные выше результаты кратко можно суммировать так:

Мы видим, что снова а имеет вид взвешенного среднего от х (основанная на данных наблюдений оценка и а (априорное среднее для Если мала по сравнению с то больший вес придается . В последнем случае, соответствующем относительно неопределенным априорным представлениям, можно сказать, что апостериорное распределение будет приближенно нормальным со средним х и дисперсией Иначе говоря, в терминах апостериорных представлений относительно при заданном х величина

имеет стандартное нормальное распределение [см. II, раздел 11.4.1]. Правдоподобные интервалы для можно получить с помощью простых вычислений, воспользовавшись таблицами нормального распределения [см. приложение 4], чтобы найти верхнюю и нижнюю процентные точки.

Важно не смешивать приведенные выше результаты с утверждением, что при заданном статистика

имеет стандартное нормальное распределение. Распределение вероятностей, на основании которых делаются оба утверждения (т. е. распределение X при заданных значениях и распределение при заданных значениях относятся к различным типам; одно из них определяется с помощью вероятностной модели а другое — с помощью распределения описывающего вид представлений, полученных на основании теоремы Байеса. С другой стороны, численные выражения правдоподобных и доверительных интервалов (при заданном уровне будут одинаковыми для любых заданных значений

Таким образом, когда априорные представления относительно расплывчаты, числовые выражения, получаемые статистиками, использующими байесовский подход, не будут отличаться от результатов, полученных статистиками, пользующимися небайесовскими методами, несмотря на то, что применяемые методы выведены совершенно различным образом. Однако заметим, что если априорные представления будут не очень расплывчаты по сравнению с информацией, содержащейся в данных наблюдений (т. е. если нельзя считать малой по сравнению с то не будет существовать единственного результата байесовского анализа и, следовательно, не будет совпадения с результатами, полученными небайесовскими методами.

б) Неизвестное среднее, неизвестная дисперсия. В более распространенной ситуации, когда не известны ни ни приходится задавать вид априорной совместной функции плотности для двух неизвестных параметров, чтобы вывести вид функции апостериорной совместной плотности

Чтобы рассмотреть множество возможных ситуаций, возникающих при определении вида потребовалось бы провести обсуждение самого общего характера. Например, должны ли быть, априорные представления относительно независимыми для того, чтобы можно было записать в виде — произведения оцененных раздельно значений маргинальных плотностей для Очевидно, что конкретный выбор будет зависеть от соображений подобного рода, которые невозможно отразить в однопараметрическом случае.

Мы не будем приводить здесь перечень возможных вариантов анализа соотношений между априорными и апостериорными представлениями, а только кратко рассмотрим частный случай независимых и расплывчатых априорных представлений относительно Причины такого выбора станут ясны позднее.

При проведении анализа этого особого случая поступим следующим образом. Сначала припомним, что в предыдущем разделе неизвестно, а известно) «расплывчатые» априорные выражения для представлений относительно получены путем рассмотрения априорной нормальной плотности, дисперсия 0 которой считалась большой. Это приводило к тому, что функция имела очень плоскую форму, такую, что можно было принять приближенно постоянной. Аналогично в разделе 15.5.2 было показано, что расплывчатая априорная спецификация параметра, имеющего положительные значения, могла получиться при рассмотрении гамма-плотности с параметрами при малых значениях этих параметров. Перенося последнюю идею на случай и присоединяя ее к упомянутому выше предположению о приближении в виде «постоянной», находим, что результирующая «расплывчатая априорная аппроксимация» Конечно, она не является представлением плотности вероятностей в верном смысле и не может всерьез рассматриваться как подлинное выражение априорных представлений. Скорее ее можно интерпретировать следующим образом. Если бы мы собирались оценить и найти выражения для подлинных представлений, когда они оказываются «очень расплывчатыми» в том смысле, что апостериорная плотность будет сильно зависеть от того, «что говорят данные» (т. е. правдоподобие будет иметь более узкую заостренную форму, чем априорная плотность), то результирующие апостериорные представления, полученные из оцененных соответствующим образом априорных представлений, совсем немного отличались бы от тех, которые получены при аппроксимации такого вида. Поэтому при выборе легко прийти к удобному приближенному «урезанному» выражению для иллюстрации характера выводов, возникающих в этом случае.

Пользуясь теоремой Байеса, получаем

Чтобы найти маргинальные апостериорные плотности для нужно проинтегрировать это выражение совместной плотности сначала по а затем по Подробности этой процедуры просты, но сами

по себе они не представляют особого интереса, поэтому мы просто приводим результаты интегрирования. Когда речь идет о они сводятся к тому, что величина

имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы [см. раздел 2.5.5]. Что касается параметра то величина

имеет распределение степенями свободы [см. раздел 2.5.4, а )].

Интервальные оценки для можно легко получить из стандартных таблиц и -распределений.

Необходимо подчеркнуть, что распределения рассмотренных выше величин основаны на приближенном апостериорном распределении представлений относительно при заданных значениях данных

Эти результаты могут напомнить похожие, но отличающиеся в концептуальном смысле результаты, основанные на частотной интерпретации, которые приводились в разделе 5. Те результаты выводятся исходя из частотных распределений X и при заданных Однако снова (как и в предыдущих разделах) можно увидеть, что, когда байесовский анализ проводится на основе расплывчатых априорных представлений, выводы, о которых здесь говорилось, будут иметь численное выражение, тождественное выводам, к которым приводят небайесовские методы.

1
Оглавление
email@scask.ru