12.2.5. НЕОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОБЪЯСНЯЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

При переходе от ортогональных переменных к неортогональным меняется несколько важных результатов. В частности, оценки метода наименьших квадратов становятся коррелированными. Это означает, что процедура построения доверительных интервалов для коэффициентов должна быть изменена. Необходимы определенные модификации и в других случаях. Сумма квадратов теперь может быть представлена на основе не единственным образом, поэтому при проверке гипотезы следует учитывать, включен ли в модель фактор Необходимые изменения проиллюстрируем на примере.

Данные: матрица скалярных произведений

первое наблюдение:

Модель:

независимы и распределены по нормальному закону.

Необходимо построить доверительный интервал для найти оценку для проверить гипотезу об исключении фактора найти отклонение при

Оценки метода наименьших квадратов. Их получаем, решая систему нормальных уравнений, т. е.

откуда

где — отклонения в регресии х, на и соответственно на х

Вычисляем:

Таким образом,

Первые два момента оценок равны:

где Отсюда

Доверительным 95%-ным интервалом для будет , при . В результате корреляции между эффективность оценок уменьшилась (дисперсии увеличились). Например, если изменяется от 0 до 8, то изменяется от 0,100 до 0,150.

Расчетные значения и отклонения. Теперь

Моменты расчетных значений и отклонений есть:

для любых

Таким образом, изменения коснулись лишь вторых моментов расчетных значений.

При

и

Если то значение очень близко к

Дисперсионный анализ. Все слагаемые в разложении суммы квадратов с точностью до множителя имеют нецентральное распределение

Слагаемые общей суммы квадратов независимы друг от друга, а также от остаточной суммы квадратов. Несмещенной оценкой является

Критерий для проверки предположения, что может быть исключен из модели, — это критерий для проверки гипотезы . С этой целью построим таблицу, следуя рассуждениям из раздела 12.1.5:

Поскольку -отношение меньше 1, гипотеза принимается можно исключить из модели).