Глава 18. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
18.1 ВВЕДЕНИЕ
Временной ряд — это совокупность измерений некоторой переменной (будем обозначать ее X), производимых по мере возрастания времени. Теоретически измерения могут регистрироваться непрерывно, но обычно они осуществляются через равные промежутки времени и нумеруются аналогично элементам выборки (объема 
):
Для временных рядов главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Подобное описание, осуществляемое без использования какой-либо другой наблюдаемой переменной, относят к анализу одномерных рядов. Мы посвящаем таким методам основную часть этой главы. Цель исследования, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию исследователь может получить и непосредственно из модели (например, амплитуду циклической компоненты). Обычно модель применяется для экстраполяции или прогнозирования временного ряда. Качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Для других применений, таких, как корректировка сезонных эффектов, выделение сигнала и сглаживание, обычно необходимо построение хороших моделей ряда. Наконец, модели могут использоваться для статистического моделирования [см. II, раздел 5.6] длинных рядов наблюдений, при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация. В этой главе мы ограничиваемся приложениями к прогнозированию.
При исследовании временных рядов необходим статистический подход. Действительно, ошибки измерения присутствуют всегда; кроме того, случайные флуктуации, видимо, свойственны наблюдаемой системе, относится ли она к окружающей среде, экономике, технике или биологии. При анализе одномерных рядов почти неизбежно применение эмпирических методов. Полная математическая модель наблюдаемой системы, вероятно, не имеет большого значения, если измеряется только одна переменная. В этой главе приводятся относительно простые эмпирические модели, достаточно гибкие для подгонки данных и хорошо зарекомендовавшие себя за годы успешного применения.
(кликните для просмотра скана)
Мы неявно предполагаем, что временной ряд имеет какую-то структуру, т. е. наблюдения не являются набором совершенно независимых числовых значений. Структуру ряда в некоторых случаях можно определить на глаз. Это относится, например, к таким компонентам ряда, как тренд и циклы. Однако «на глаз» можно прийти к выводу о наличии структуры и там, где в действительности имеет место лишь чистая случайность. Мы предполагаем, что структуру ряда можно описать моделью, содержащей небольшое число параметров по сравнению с количеством наблюдений, — это практически важно при использовании модели для прогнозирования. Временной ряд является, таким образом, совокупностью наблюдений случайного процесса [см. II, гл. 18]:
Обычно такой процесс, так же как и выборочные данные, называют временным рядом. Начиная с этого места, мы будем для удобства символом 
обозначать как наблюдения, так и случайный процесс, полагаясь для уточнения смысла на контекст.
На рис. 18.1.1 показаны графики пяти временных рядов, выбранных для иллюстрации различных свойств. Логарифм числа авиапассажиров (называемый далее рядом авиаперевозок) представляет собой ежемесячный ряд, содержащий ярко выраженные тренд и внутригодовые изменения. Численность поголовья свиней в стране (в дальнейшем — ряд поголовья свиней, предиктор для величины прироста стада) измеряется ежеквартально. В этом ряду чередуются подъемы и спады, интервал между соседними пиками составляет два-три года, что служит примером нерегулярного цикла. Измерения скорости вращения Земли (в дальнейшем — ряд продолжительности дня) образуют ряд из ежегодных данных, в котором обнаруживается слабый возрастающий тренд с большими долгопериодическими колебаниями вокруг тренда. Случайный ряд — это случайная выборка из нормального распределения [см. II, раздел 11.4], скорректированная с учетом среднего значения. Случайное блуждание [см. II, раздел 18.3] — это ряд, являющийся накопленной суммой значений случайного ряда; на его примере видно, как подобный ряд создает впечатление циклического поведения.
