19.5. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ

19.5.1. АКСИОМЫ СОГЛАСОВАННОСТИ В ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ

В разделе 19.1 мы заметили, что у задачи выбора «наилучшего» действия нет нейтрального, чисто математического решения. Затем мы рассмотрели два различных подхода для выбора оптимального решения: байесовский и минимаксный. Однако все это очень произвольно. Почему следует рассматривать именно эти два подхода? И откуда мы знаем, что поступаем разумно, принимая наши исходные математические конструкции? Откуда мы знаем, что разумно принять существование функций полезности (или потерь)?

Другой подход ко всему кругу задач состоит в том, чтобы начать с гораздо более примитивных понятий (не предполагая еще существования функции полезности и не ограничивая себя в выборе подхода для отбора решений) и вывести из них вид требуемой структуры и подход к выбору оптимального решения.

Для этого составим список аксиом (или «очевидных» постулатов), а затем попытаемся вывести из них необходимые следствия. В этом разделе мы не будем стремиться излагать все детально и строго, но постараемся дать почувствовать «аромат» аксиоматического подхода и соответствующих доводов. В частности, мы обсудим формальную аксиоматическую систему, которая закладывает основы «рационального предпочтения» между последствиями. В следующем разделе менее формально обсудим, каким образом можно проанализировать понятие «разумной степени уверенности».

Пусть в — множество всех последствий, которые могут возникнуть в задаче принятия решений. В обозначениях раздела 19.1 . Обозначим через Р множество всех распределений вероятностей, определенных на в так что Р обозначает множество всех возможных неопределенностей при рассмотрении последствий. Предположим теперь, что у ЛПР есть определенные предпочтения между элементами множества Р, и будем писать чтобы показать, что строго предпочтительнее, чем чтобы показать, что нестрого предпочтительнее, чем чтобы показать, что ни ни не предпочтительнее другого.

Предполагается, что предпочтения подчиняются двум аксиомам:

Если — элементы пространства то либо либо .

А2. Если — такие элементы Р, что то

Другими словами, мы предполагаем, что любые две неопределенные ситуации при рассмотрении последствий сравнимы и что предпочтения транзитивны.

Сделаем теперь еще одно допущение.

А3. Если — элементы пространства Р и а — любое число, то тогда и только тогда, когда

Эта аксиома формализует интуитивную идею, что если две ситуации неопределенности относительно последствий имеют общую компоненту, то сравнение этих ситуаций не должно зависеть от их общей компоненты.

Предположим, далее, что:

А4. Если — такие элементы пространства что то существуют такие числа что

Эта аксиома формализует идею, что среди последствий нет ни «бесконечного выигрыша», ни «бесконечного проигрыша». Например, условия

показывают, что хотя существует такое число (1—а) (может быть, совсем маленькое), что смесь все еще предпочтительнее, чем Если бы был «бесконечным проигрышем», то это было бы не так. Аналогичные замечания относятся и ко второму неравенству.

Эти аксиомы и их обсуждение должны были показать, как можно подойти к формализации интуитивных представлений о «рациональном» или «согласованном» предпочтении. Сейчас мы попробуем вывести из этих предположений форму, которую должны иметь разумные процедуры принятия решений.

Оказывается, что ответ состоит в том, что для разумного принятия решения необходимо:

а) предположить существование функции полезности;

б) действовать так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность.

При этом «разумность» означает согласие с ранее приведенными аксиомами для предпочтений.

Короче говоря, аксиоматические системы такого рода (а существует много различных вариантов полного списка выбираемых аксиом) показывают, что байесовский подход к принятию решений необходим, если только мы собираемся действовать в согласии с принятой аксиоматикой.

Детальное рассмотрение системы аксиом, близкой к описанной, можно найти в [DeGroot (1970), гл. 7].