18.4. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
При рассмотрении временных рядов естественно представлять детерминированные функции времени простыми рекуррентными уравнениями [см. I, раздел 14.3], показывающими, как связаны между собой последовательные значения. Например, тренд
можно представить двумя простыми способами:
первый из них сохраняет одну постоянную, второй исключает обе. Используя оператор взятия обратной разности, определяемый формулой
мы можем более удобно записать приведенные выше соотношения как
Если во временном ряде 
обнаруживается трендовая компонента, может оказаться проще и естественнее анализировать ряд 
последовательных приращений или даже ряд 
Более того, если ряд 
содержит в качестве компоненты случайное блуждание 
подобное изображенному на рис. 18.1.1, д), структура такого ряда также упростится, так как по определению 
есть случайный ряд, аналогичный ряду на рис. 18.1.1, г).
Чисто периодический ряд, могущий составлять компоненту сезонного временного ряда с периодом сезонности 
удовлетворяет соотношению
Вводя оператор взятия сезонной обратной разности, определяемый как
мы получим для сезонной компоненты соотношение 
Таким образом, для сезонного ряда 
может оказаться проще анализировать ряд 
в котором исключена любая детерминированная сезонная компонента. Для ряда авиаперевозок сезонные разности приведены на рис. 18.2.1, в). Интересно сравнить их с рядом остатков на рис. 18.2.1, б), построенным по модели (18.2.1). Оба этих ряда получены в результате применения операций, уничтожающих сезонность. На рис. 18.2.1, б) ко всему ряду было подогнано и затем исключено вместе с трендом фиксированное сезонное колебание (одинаковое для всех лет). На рис. 18.2.1, в) для каждого года исключаются различные сезонные колебания, а именно значения предыдущего года. Поскольку сезонные колебания столь заметны и устойчивы, результаты очень похожи, хотя на рис. 18.2.1, в) еще присутствует положительный средний уровень (средний прирост за год), возникающий из-за тренда. Однако стоит заметить, что, не считая среднего уровня, ряд на рис. 18.2.1, в) является сезонной разностью ряда рис. 18.2.1, б). Эффект удаления любого сезонного колебания теряется после взятия сезонной разности.
Если ряд содержит и тренд, и сезонную составляющую, их можно исключить, применяя последовательно операторы V и 
(в любом порядке), т. е.
Результат такого преобразования для ряда авиаперевозок показан на рис. 18.2.1, г), получившийся ряд является попросту первой разностью ряда, изображенного на рис. 18.2.1, в). Этот ряд с близким к нулю средним значением имеет вид совершенно случайного ряда.
Аргумент за использование этих операторов для преобразования рядов с целью упрощения их структуры необходимо дополнить конструктивной интерпретацией. Ряд, состоящий только лишь из детерминированного тренда и сезонной компоненты, после применения этих операторов полностью вырождается, так как 
Однако переписав это уравнение как
мы видим, каким образом ряд можно неограниченно продолжать, имея в начале по крайней мере 
последовательных значений. Это правило можно применить, например, к построению прогноза (ежемесячного) ряда авиаперевозок на основе данных за последний год. Правило предписывает взять последнее доступное приращение за год от декабря 1958 г. до декабря 1959 г. и прибавить его к январским, февральским и т. д. данным за 1959 г., получая прогноз на январь, февраль и т. д. 1960 г. Результаты показаны на рис. 18.4.1. Сравнение результатов с экстраполяцией по подогнанной модели (18.2.1) показывает, что они оказываются лучше для первых четырех месяцев. Эти две процедуры являются в определенном смысле крайними, так как модель (18.2.1) приписывает равные веса всем доступным данным, а правило (18.4.1) приписывает ненулевые веса только самым последним данным (за последние 13 месяцев). Мы увидим в разделе 18.7.6, что между этими двумя крайностями возможен компромисс.
