18.7.2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ СС(q)

Формулу для АКФ процесса нетрудно вывести из следующих соотношений, являющихся в силу (18.7.1) частным случаем (18.6.3):

Конечная протяженность АКФ является характеристическим свойством модели. А именно стационарный временной ряд, для которого при всегда можно описать обратимой моделью если только спектр ряда строго положителен. Кроме того, если не является гауссовским, то величины не обязаны быть независимыми, хотя они останутся некоррелированными .

Для при Легко видеть, что, когда пробегает допустимый интервал от —1 до 1, величина монотонно убывая, изменяется в пределах от 1/2 до —1/2. Как было показано в разделе 18.5.3, при ограничении при и условии строгой положительности спектра этот интервал — полное множество значений для

Таким образом, для того чтобы узнать, может ли модель с достаточно малым описывать наблюдаемый временной ряд, проще всего исследовать его выборочную обрезав ее надлежащим образом. Например, в разделе 18.5.1 было высказано предположение о том, что модель пригодна для описания ряда продолжительности дня. Однако в разделе 18.5.3 мы установили, что, полагая при и беря в качестве соответствующие выборочные значения мы получаем недопустимый набор значений, поскольку соответствующий спектр будет отрицателен в некоторых точках, в частности при Равным образом не существует набора параметров модели дающих в точности такой набор значений для АКФ. Даже если мы перейдем к модели и положим при мы все равно получим недопустимый набор значений. Однако, рассмотрев соответствующий спектр в этом случае, мы видим лишь небольшие отрицательные значения в области малых частот. Более того, можно проверить, что, взяв в модели

мы по формуле (18.7.2) получим значения равные

и они хорошо укладываются в доверительные границы, полученные по выборочным значениям

которые мы пытаемся получить. Единственное опасение вызывает то, что модель (18.7.3) не является строго обратимой без малой коррекции ее параметров, например при предположении так как соответствующий спектр обращается в нуль в точках , будучи положительным в остальных точках. Этот факт наводит на мысль, что корреляции во многом обусловлены применением к данным равномерного сглаживающего фильтра, и (18.6.23). Это обсуждение свидетельствует также о необходимости более надежных и эффективных методов оценки параметров модели скользящего среднего, чем процедура нахождения параметров путем подгонки выборочных корреляций.