15.3.4. ТЕОРЕМА БАЙЕСА ДЛЯ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Пример 15.3.3. П. Рейли [см. Reilly (1976)] рассматривает данные, приведенные в табл. 15.3.1, которые были получены с помощью имитационной модели

где — независимые, нормально распределенные с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями, равными Фактически значениями параметров, использованными при имитации, были

но Рейли анализирует данные при допущении, что неизвестные параметры, значения которых должны быть выведены с помощью теоремы Байеса. Если вектор наблюдений обозначить как у и опустить конкретную ссылку на заданные значения то в этом примере можно записать теорему Байеса, игнорируя нормализующую постоянную, в виде

где

— совместная априорная плотность в соответствующей области изменения значений.

Таблица 15.3.1

На рис. 15.3.10 представлены уровни постоянства совместной апостериорной плотности соответствующие определению как равномерной функции плотности в диапазоне Изображенные уровни (изокванты) содержат (начиная с внешнего контура) 99,9%-, 98,6%-, 74,6%- и 49,5%-ные области для совместной апостериорной вероятности.

На рис. 15.3.11 изображены функции маргинальной апостериорной плотности для , определенные в виде

В действительности в этом примере и при вычислении изоквант совместной плотности, и при интегрировании совместной плотности для получения маргинальных плотностей требуется тщательная численная обработка, выполняемая с помощью компьютера. В статье Рейли

Рис. 15.3.10. (см. скан) Изокванты

Рис. 15.3.11. (см. скан) Маргинальные (частные) апостериорные плотности для

описывается в общих чертах вид грубой численной процедуры для осуществления таких вычислений. В работе [Naylor and Smith (1982)] описаны и проиллюстрированы более эффективные численные методы интегрирования.

В разделе 15.4 обсуждаются возможные подходы, которые можно было бы применить для суммирования информации, содержащейся в апостериорных плотностях. Однако легко понять основной смысл

Рис. 15.3.12. (см. скан) Маргинальная апостериорная плотность для

содержания рис. 15.3.11. Начав с априорных представлений, согласно которым все значения в диапазоне считаются в равной мере возможными, после того как получено шесть наблюдений, записанных в табл. 15.3.1, мы становимся вполне уверенными, что причем наиболее вероятное значение находится около и что где наиболее вероятным значением является Области неопределенности несколько сократились, но если число наблюдений мало, то представления не станут еще достаточно сконцентрированными.

Когда спецификация модели включает два или больше параметров, для практических целей часто представляет интерес изучение свойств только одной из функций этих параметров. Например, в случае, который рассматривался выше, нас мог интересовать параметр Маргинальная апостериорная плотность находится из совместной апостериорной плотности или с помощью обычных методов преобразования переменных [см. II, раздел 10.7], если преобразование можно выразить аналитически, или непосредственно численными методами, которые предлагаются и разъясняются в статьях Рейли или Нейлора и Смита. На рис. 15.3.12 показан приближенный вид, определенный из численными методами.