Глава 19. ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

19.1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ

19.1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ

Основные элементы задачи принятия решения допускают следующую формализацию:

задается множество [см. I, раздел 1.1], называемое пространством действий, которое состоит из всех действий доступных лицу, принимающему решение (ЛПР);

задается множество 9, называемое пространством параметров, состоящее из всех возможных «состояний природы», из которых реализуется одно и только одно (это истинное состояние природы неизвестно ЛПР в момент, когда нужно принять решение);

задается функция называемая функцией потерь, с областью определения (множество всех пар [см. I, раздел 1.2.6]) и областью значений (вещественная прямая) [см. I, определение 1.4.1]; пара называется последствием (от принятия решения а, если истинное состояние природы есть

наблюдается случайная величина X, возможные реализации которой образуют выборочное пространство X [см. II, раздел 3.1] и распределение которой задается плотностью распределения вероятностей [см. II, раздел 10.1.1], принадлежащей заданному семейству

определяется множество А называемое пространством решений и состоящее из всех отображений множества X в А [см. I, определение 1.4.1].

Описанный формализм можно интерпретировать следующим образом. В момент выбора действия ЛПР не знает истинное состояние природы и поэтому ему неизвестны истинные последствия его действия (если ЛПР изберет действие то истинное последствие неизвестно, поскольку неизвестно). Однако ЛПР знает ущерб при каждом возможном последствии определяемом его выбором действия и состоянием природы (конечно, «ущерб» может быть и «выигрышем»; в этом случае численное значение, приписанное функции должно быть отрицательным либо мы можем работать не с функцией потерь, а с функцией выигрыша или полезности). Чтобы уменьшить неопределенность относительно получает информацию в виде наблюдений случайной величины X, распределение

которой зависит от параметра в. Зная, что и зная вид п.р.в. , ЛПР может извлечь информацию относительно состояния в, которая поможет ему в выборе общей стратегии, определяющей выбор для каждого Формально ЛПР выбирает действие на основе имеющегося наблюдения Выбор общей стратегии, определяющей для каждого действие эквивалентен выбору решающей функции Функция определяет действие, предпринимаемое ЛПР при всех возможных

Таким образом, теорию принятия решений можно считать наукой о том, как выбирать решающую функцию из пространства решений Эта теория включает два аспекта: первый, философский, состоит в выборе критерия для сравнения элементов множества второй, технический, состоит в том, как найти элемент оптимальный в смысле выбранного критерия.

Иногда задачу принятия решения рассматривают как игру против Природы. Это естественно, поскольку Природа выбирает элемент и затем не зная этого состояния 0, выбирает действие . В результате этих двух выборов ЛПР терпит ущерб (измеренный в соответствующих единицах, не обязательно денежных). Возможность наблюдать случайную величину X с дает ЛПР некоторую ограниченную информацию относительно выбора Природы. Выбор решающей функции можно рассматривать как стратегию, избираемую ЛПР для этой игры.

Хотя впоследствии мы рассмотрим это более подробно [см. раздел 19.2], следует уже сейчас отметить, что два основных раздела теории статистических выводов — оценивание и проверка гипотез — являются частными случаями сформулированной общей задачи принятия решений.

При оценивании положим (обычно это — вещественная прямая или подмножество прямой), поскольку в данном случае действие состоит в выборе значения параметра (т. е. оценки). Вид функции потерь зависит от практических особенностей моделируемой задачи, но наиболее типичными являются или Решающая функция обычно называется процедурой оценивания, а ее значение является оценкой параметра по заданным данным с определением 3.1.1].

При проверке гипотез [см. раздел 5.12] пространство параметров представляется в виде объединения двух непересекающихся множеств Множеством? в этом случае содержит всего два элемента определенные таким образом, что действие состоит в отклонении гипотезы а действие — в отклонении гипотезы Функция потерь зависит от природы множеств

При проверке простой нулевой гипотезы против простой альтернативной гипотезы [см. раздел 5.2.1, п. в), г)] пространство параметров также состоит из двух точек и можно, например, положить (поскольку в этом случае предпринимается правильное действие); выбор двух других значений должен отражать относительную важность ошибок I и II рода.

Материал в этой главе расположен следующим образом. В оставшейся части раздела 19.1 мы обсудим альтернативные критерии для оценивания решающих правил, а затем сформулируем ряд основных результатов, показывающих, какие критерии приводят к хорошим решениям. В разделе 19.2 некоторые из этих идей будут проиллюстрированы на статистических задачах принятия решений (оценивания и проверки гипотез).

Ясно, что функция потерь (или, что то же самое, функция полезности или отрицательных потерь) играет фундаментальную роль в построении теории принятия решений. В разделе 19.3, работая в терминах функции полезности, мы рассмотрим, каким образом выбор этой функции связан с ожидаемым риском.

В разделе 19.4 дано краткое введение в важный класс задач, в которых решения принимаются последовательно по времени, одно за другим, так что более позднее решение зависит от последствий предыдущих. Мы определим дерево решений и проиллюстрируем его применение. Наконец, в разделе 19.5 вновь кратко вернемся к вопросу, как обосновать критерии для принятия решений, отправляясь от небольшого числа очевидных постулатов или аксиом. Рекомендации по выбору литературы для дальнейшего изучения приведены в разделе 19.6.