14.9. МЕРЫ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

В параметрических моделях мы встречали понятия ковариации и корреляции [см. (2.1.8)], которые измеряют степень связи между парами случайных величин из двумерного распределения. Можно построить оценки этих мер по случайной выборке наблюдений, например вспомните выборочный коэффициент корреляции (2.1.9). Можно построить и аналогичные меры связи при непараметрическом подходе, используя понятие рангов наблюдений при упорядочении. В качестве примера построим две такие меры: коэффициент ранговой корреляции Спирмена и коэффициент ранговой корреляции Кендэла. Заинтересованный в более детальном рассмотрении этих и других мер читатель может обратиться к книге [Kendall (1962)].

Предположим, что у нас есть пар наблюдений которые составляют случайную выборку из некоторого (неизвестного) двумерного непрерывного распределения. Мы составим вариационный ряд для и отдельно для Если две переменные сильно зависимы или имеют высокую степень связи, мы вправе ожидать, что ранги двух элементов каждой пары примерно одинаковы (или, возможно, взаимно обратны, если корреляция отрицательна). С другой стороны, если зависимости нет, то мы не будем ожидать такого рода тренда.

14.9.1. КОЭФФИЦИЕНТ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ СПИРМЕНА

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена является простой модификацией коэффициента корреляции Пирсона (2.1.19), при которой величины и заменяются их рангами. Поскольку ранги являются некоторой перестановкой чисел для каждой переменной, можно показать с помощью элементарных преобразований, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена сводится к

где

Строго говоря, в (14.9.1) необходима коррекция, если имеются связки в двух ранжируемых множествах, но эффект коррекции пренебрежимо мал, если доля связок не слишком велика.

Коэффициент имеет следующее свойство: Мы получим значения около если большим значениям отвечают большие значения и значения около —1, если большие х отвечают меньшим у. При выполнении гипотезы о независимости случайных величин выборочное распределение таково, что математическое ожидание равно нулю. Существуют достаточно полные таблицы точного распределения при выполнении [см., например, Siegel (1956), табл. Р, с. 284; Owen (1962), табл. 13.2, с. 400—406]. Для 10 критерий для проверки гипотезы основан на том факте, что

имеет приближенно распределение Стьюдента с степенями свободы при выполнении [см. раздел 2.5.5]. Критическая область размера а для проверки против альтернативной гипотезы что переменные зависимы, имеет в этом случае вид

где - -квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы. Можно вывести аналогичные критические области для односторонних критериев, для которых означает положительную (отрицательную) связь.

Пример 14.9.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Предположим, что в двух тестах 7 индивидуумов набрали следующие баллы:

Ранги имеют вид:

Отсюда

и

Из таблиц находим, что достигаемый уровень значимости равен Это высокая вероятность, и критерий указывает на то, что данные не противоречат нулевой гипотезе, т. е. гипотезе, что баллы, набранные по двум тестам, независимы.