19.4.2. ДЕРЕВЬЯ РЕШЕНИЙ

Проиллюстрируем применение деревьев решений на одной частной задаче.

Рис. 19.4.4. (см. скан) Дерево решений для задачи о капиталовложениях

Предположим, что некая компания рассматривает вопрос о небольших капиталовложениях, которые могут оказаться выгодными, если спрос на определенный вид производимой продукции возрастет, и напрасными, если он упадет. Компания может либо сразу принять решение, вкладывать ли капитал, либо заказать исследование рынка,

чтобы лучше оценить относительное правдоподобие подъема или падения спроса. Пусть отчет об исследовании рынка просто содержит прогноз — спрос возрастет или спрос упадет, а конечный исход (состояние природы) можно описать, сказав, что спрос действительно возрос или действительно упал.

Структура соответствующего дерева решений изображена на рис. 19.4.4.

В ранее принятых обозначениях [см. раздел 19.1]

Теперь следует ввести вероятности для всех неопределенных исходов. Предположим, что справедливы следующие утверждения.

Известно, что прогнозы, выдаваемые компанией, исследующей рынок, оправдываются на 80% в случае подъема спроса и на 70% в случае падения. Это значит, что в наших обозначениях

Предположим, что первоначально (т. е. без дополнительной информации об исследовании рынка) компания считает, что шансы на подъем спроса равны 60%, так что

На самом деле компании нужна прямая оценка вероятностей неопределенного исхода, которую можно получить простым вычислением, если она закажет исследование рынка:

Чтобы пересмотреть вероятности на основании заданной информации об исследовании рынка, воспользуемся теоремой Байеса [см. раздел 15.2]:

и

Для дальнейшего нужно знать полезность различных исходов. Предположим, что в рассматриваемом диапазоне компания считает функцию полезности денег примерно линейной. Предположим также, что

(кликните для просмотра скана)

если спрос возрастает, то в результате капиталовложений чистый выигрыш компании составит 1020 (в тысячах фунтах стерлингов), а если спрос упадет — то 980; если же отказаться от капиталовложений, то ожидаемый чистый выигрыш компании составит 1000. Стоимость обследования рынка равна С (тысяч фунтов стерлингов).

На рис. 19.4.5 показано то же дерево решений, что и на рис. 19.4.4, но со всей дополнительной числовой информацией.

Вспомним теперь, как, начиная с правого края дерева, мы вычисляли ожидаемые эффекты полезности. Результаты этих вычислений для ветви решения показаны на рис. 19.4.6, где, например,

и

Применяя принцип максимизации ожидаемого выигрыша, мы видим, что при прогнозе оптимальным действием является а при прогнозе оптимальным будет действие Это приводит к рис. 19.4.7. Снова вычисляя ожидаемый выигрыш, получим, что для он равен:

Ожидаемые выигрыши для составляют:

Чтобы выбрать начальное решение, следует сравнить ожидаемые выигрыши так, как показано на рис. 19.4.8.

Теперь ясно, что никогда не следует выбирать действие и что предпочтительнее, чем только если плата за исследование рынка не превышает 3,2.

Конечно, мы рассмотрели только очень частный пример, но все деревья решений формируются и анализируются тем же способом:

1) записать логическую структуру дерева в хронологическом порядке, описывая узлы решений и неопределенности, вместе со всеми разветвлениями в каждом узле;

2) определить вероятность для всех дуг неопределенностей, позаботившись о соответствующих условиях для каждой дуги;

3) приписать значения выигрыша финальным дугам;

4) двигаясь по дереву справа налево, вычислить математическое ожидание в узлах неопределенностей, максимизировать выигрыш в узлах решений и таким образом определить наилучшие действия и их ожидаемые выигрыши.

Рис. 19.4.8. Ожидаемые выигрыши при разных исходных действиях