18.6.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НАД ВРЕМЕННЫМИ РЯДАМИ

ОЛМ — пример применения линейного оператора (или линейного фильтра) к одному ряду для создания другого ряда. Подобные операции обычны в анализе временных рядов. Рассмотрим уравнение

где мы требуем лишь, чтобы временной ряд удовлетворял условию для всех и коэффициенты удовлетворяли условию . Тогда величины корректно определены и Интервал суммирования может быть от до хотя в большинстве случаев более естественно рассматривать

интервал от 0 до При исследовании таких операторов полезно использовать в обозначениях оператор обратного сдвига В, при действии которого на временной ряд возникает ряд . А именно полагают

Тогда операцию (18.6.4) можно записать в виде

где оператор

с формальной точки зрения является степенным рядом по В [см. IV, раздел 1.10]. Это обозначение удобно с алгебраической точки зрения, поскольку если в свою очередь

то

Под этой записью мы подразумеваем, что можно выразить через , а именно

где

Таким образом, последовательному применению линейных операторов соответствует их формальное произведение.

Одно из характеристических свойств линейных операторов состоит в том, что такие операторы оставляют синусоидальные ряды неизменными с точностью до изменения амплитуды и фазы. Действительно, полагая без потери общности

мы после применения оператора (18.6.4) получаем

где

действительная и мнимая части [см. IV, раздел 9.5.8] выражения

полученного формальной подстановкой вместо В в соответствующий оператор (18.6.7).

Значительный интерес представляет коэффициент усиления определяемый формулой

и рассматриваемый как функция частоты в интервале . Многое в классическом анализе временных рядов в таких приложениях, как сезонная корректировка и сглаживание, связано с построением фильтров с определенными свойствами, например выделяющих либо исключающих из ряда определенные частотные компоненты. Более того, соотношение (18.6.6) обратимо, если только при всех со, т. е. при этом условии можно записать:

где