18.6.5. ОГРАНИЧЕНИЯ НА ОЛМ

ОЛМ содержит односторонний оператор, действующий на настоящее и прошлое значения ряда Вместе с дополнительным условием на оператор из (18.6.31) это ограничение позволяет дать полезную интерпретацию для ряда Дополнительное условие — это условие обратимости:

где вместо В допускается подстановка как действительных, так и комплексных чисел. Из этого условия следует, что обратный оператор существует и также является односторонним, так что а, — линейная комбинация настоящего и прошлых значений

или

где . В рамках ОЛМ удобно считать, что так как допускает масштабный множитель, так что

Это соотношение выглядит, как регрессионное уравнение, в котором ошибка оказывается некоррелированной с регрессионными переменными поскольку, как было установлено в разделе 18.6.1, при Следовательно, является линейным МНК-предиктором для по всем прошлым значениям, а — соответствующая ошибка прогноза на один шаг вперед, или обновляющий процесс. В качестве примера рассмотрим весьма частный случай ОЛМ,

Единственный нуль полинома есть и он лежит вне круга если только . В этом случае нужный нам обратный оператор равен

откуда

В случае также возможно построить обратный оператор

т. е.

но это соотношение нельзя интерпретировать в терминах прогноза.

Естественно спросить, всегда ли стационарному временному ряду отвечает обратимая OЛM. Упрощая, с точки зрения практики, на этот вопрос следует ответить положительно, если только из ряда исключены все детерминированные синусоидальные компоненты и если условие независимости для ряда ослабить, заменив его на условие отсутствия корреляций: при Тем самым уравнения и (18.6.38) являются естественной стартовой точкой для разработки моделей с конечным числом параметров. Обновляющий ряд для произвольного стационарного временного ряда теоретически можно построить, как предел ошибок прогноза в (18.5.17), при неограниченном возрастании порядка предиктора к. Коэффициенты можно далее вычислить как откуда и получается представление (18.6.1).