17.4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ГРАФИКИ (биплоты)

Основная идея двойственных графиков (биплотов) состоит в том, чтобы представить элементы, для которых задана матрица данных, точками, как и в компонентном анализе, а переменные — векторами в том же самом пространстве. Приставка «би» используется не в обычном смысле двумерного представления, для которого ограничения скорее практического характера, а не теоретического, а для обозначения двойственности.

Пусть имеется матрица данных X, содержащая отклонения от средних. Пусть наблюдений в ординации представлены проекциями на плоскость двух первых главных осей. Интересно выяснить, как эти отображенные точки соотносятся с исходными случайными переменными. Один способ анализа — спроецировать каждую из первоначальных осей, соотносящихся с одной из случайных переменных, на ту же плоскость, что и выборки. Каждая ось будет представлена вектором, проходящим через начало координат. Самый простой способ — представить проекцию точки на каждую ось и вычислить ее расстояние до начала координат. Для этого требуются значения на компонентах для псевдонаблюдений, определенных единичной матрицей порядка Это не что иное, как строки матрицы нагрузок Н, два первых столбца которой задают соответствующие координаты случайных переменных в двумерном пространстве. Соединив каждую из этих точек с началом координат, получим один тип двойственного графика. Точки, лежащие вблизи вектора и далеко от начала координат, должны иметь большие значения (положительные или отрицательные) по соответствующей случайной переменной.

Метод проще понять, если проанализировать разложение матрицы X по сингулярным значениям, которое в данном разделе будем записывать в виде Отсюда следует, что дисперсионно-ковариационная матрица [см. определение 16.1.1] и столбцы матрицы Н идентифицируются как компонентные нагрузки, введенные в разделе 17.2. Следовательно, наблюдениям соответствуют строки матрицы а псевдонаблюдениям, представляющим случайные переменные, соответствуют строки матрицы Строки матриц и Н задают двойственные графики, и произведение двух матриц воспроизводит матрицу данных X, по крайней мере в том случае, когда представлена полная размерность пространства. Если представлено только измерений, то, как следует из теоремы Экарта—Юнга, такое представление является наилучшей, в смысле наименьших квадратов, аппроксимацией ранга для матрицы X. Следовательно, если - представляет наблюдение, переменную, О — начало координат, то является аппроксимацией для

Вместо графического изображения единичных псевдонаблюдений может представлять интерес проецирование точек на первоначальные оси, которые, скажем, находятся на расстоянии одного среднеквадратичного отклонения от начала координат. При хорошей аппроксимации длйны результирующих векторов дают полезную информацию об относительной вариабильности исходных случайных переменных. Если сначала нормализовать матрицу X так, чтобы все случайные переменные имели единичное среднеквадратичное отклонение, то все спроецированные векторы должны быть одинаковой длины. Однако это возможно лишь при немногих аппроксимациях. Используя другой тип биплота, можно добиться лучшей аппроксимации дисперсий и ковариаций. При этом столбцы матрицы задают координаты выборок, являются векторами случайных переменных, так что

скалярное произведение двух множеств воспроизводит матрицу X. Длины векторов определяются как , т. е. матрицей . Следовательно, длины равны среднеквадратичным отклонениям, а скалярные произведения пар векторов определяют ковариации. Косинус угла между двумя векторами соответствует корреляции между двумя случайными переменными; полностью коррелированные переменные порождают совпадающие векторы, а слабо коррелированные переменные порождают почти ортогональные векторы. Двумерное приближение, конечно, является аппроксимацией Экарта—Юнга для матрицы Доля суммы квадратов, вычисленная для размерности равна

где собственное значение матрицы Такой тип двойственного графика лучше передает распределение случайных переменных по сравнению с прежним. Однако здесь искажаются расстояния между элементами. В предыдущем варианте расстояния аппроксимировали евклидовы расстояния между строками матрицы X, вычисленные по теореме Пифагора. В данном варианте расстояния вычисляются из условия . Это один из типов расстояния Махаланобиса [см., например, Rao (1965) — С], однако следует помнить, что и не является независимо вычисленной матрицей дисперсий внутри совокупности. Идемпотентность означает, что если вводится расстояние Махаланобиса, то точки обладают следующим свойством: их сумма квадратов постоянна во всех направлениях, и любая -мерная проекция имеет сумму квадратов, равную . Доля вычисленной суммы квадратов равна для двумерного графика она равна Существует мнение, что на биплоте первого типа точки адекватно передают наблюдения, но векторы плохо передают случайные переменные в отличие от графика второго типа. Наилучший вариант — представить графически для наблюдений и для случайных переменных, но при этом теряется связь скалярных произведений с матрицей X.

Другой тип биплота соответствует ситуации, когда X рассматривается как таблица с двумя входами размерности [см. раздел 7.5.2], а не как матрица данных. Тогда нет смысла работать с отклонениями от средних по столбцам. Поскольку строки и столбцы имеют одинаковый статус, умножение на сингулярные значения в качестве весовых коэффициентов должно быть сбалансированным, и поэтому лучше отобразить Процедура построения биплота та же, что и прежде, но в данном случае нельзя интерпретировать два множества точек в терминах случайных переменных/наблюдений.

Особый интерес представляет случай, когда матрица X имеет ранг 2, и, следовательно, ее разложение по сингулярным значениям содержит только два члена:

Такой вид соответствует простой аддитивной модели

в которой всегда можно ввести новую параметризацию, приводящую к Выразив X в виде

где легко обнаружить, что матрица X имеет необходимый вид ранга 2. Записав приходим к

где — вектор с элементами — отклонениями от среднего значения для других векторов. Геометрическая интерпретация такого преобразования состоит в том, что начало координат для точек-строк находится в точке, соответствующей их среднему; аналогично и для точек-столбцов. Итак, две конфигурации остаются неизменными, за исключением того, что одно множество сдвинуто относительно другого и введено новое общее начало координат. Старые и новые оси параллельны, поэтому преобразование не изменяет углов и не нарушает коллинеарности. Поскольку матрица X имеет специальную аддитивную форму, ее левая часть заполнена нулями, так что с учетом вида ее разложения по сингулярным значениям имеем для элемента

Поэтому линия, соединяющая точку со средними значениями ортогональна линии, соединяющей точку со средними значениями Это справедливо для всех и , следовательно, точки, соответствующие строкам матрицы X, лежат на одной прямой так же, как и точки, соответствующие столбцам. Эти две прямые ортогональны. Результат не зависит от того, распределены ли сингулярные значения одинаково по строкам и столбцам. Любое разбиение удовлетворительно.

Более общее представление ранга 2 таблицы с двумя входами:

Такая модель предложена Дж. Тьюки [см. Tiikey (1949)] для анализа неаддитивности. Легко увидеть, что структура имеет ранг 2, если записать X в виде Как и в случае линейной модели,

что, вообще говоря, не равно нулю, поэтому в данном случае двойственные графики не сводятся к парам ортогональных осей. Факт, что они вообще сводятся к линиям, следует только из того, что вид X ранга 2 обозначает, что векторы и, и лежат на плоскости, содержащей векторы 1 и а. Таким образом, существуют числа такие, что

Исключив получаем Это означает коллинеарность двойственного графика для точек, соответствующих строкам. Подобным же образом можно продемонстрировать свойство коллинеарности для точек, соответствующих столбцам.

Общая модель ранга 2 для таблицы с двумя входами не приводит к коллинеарности, хотя подмножества точек могут быть расположены на одной прямой. Это означает, что, хотя для представления всей таблицы необходима общая модель, отдельные ее подтаблицы могут быть аппроксимированы более простыми моделями.

Промежуточной между простой аддитивной и самой общей моделью ранга 2 является постолбцовая регрессионная модель Мандела [см. Mandel (1961)]

и соответствующая построчная регрессионная модель. Поскольку

существуют числа такие, что

откуда, как и в предыдущем случае, следует, что точки, представляющие строки, лежат на одной прямой. Однако лежат на плоскости и не образуют линейный график. Из выражений для следует, что расстояние между парами точек соответствующих строкам, пропорционально Таким образом, легко визуально оценить значения параметров. Этот результат также справедлив для более простой линейной модели, задаваемой

Выше было показано, как вид модели порождает различные виды двойственных графиков. Справедливо также обратное: различные виды графиков могут порождаться только рассмотренными моделями. Двойственные графики могут служить для проверки адекватности линейной модели, модели Тьюки или постолбцовой/построчной регрессии; в частности, они показывают, адекватна ли простая линейная модель для описания таблицы с двумя входами (более подробное изложение этих проблем см. в работе [Bradu and Gabriel (1978)], где благодаря энтузиазму К. Р. Габриеля содержатся многочисленные ссылки на литературу по двойственным графикам).