Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

17.4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ГРАФИКИ (биплоты)

Основная идея двойственных графиков (биплотов) состоит в том, чтобы представить элементы, для которых задана матрица данных, точками, как и в компонентном анализе, а переменные — векторами в том же самом пространстве. Приставка «би» используется не в обычном смысле двумерного представления, для которого ограничения скорее практического характера, а не теоретического, а для обозначения двойственности.

Пусть имеется матрица данных X, содержащая отклонения от средних. Пусть наблюдений в ординации представлены проекциями на плоскость двух первых главных осей. Интересно выяснить, как эти отображенные точки соотносятся с исходными случайными переменными. Один способ анализа — спроецировать каждую из первоначальных осей, соотносящихся с одной из случайных переменных, на ту же плоскость, что и выборки. Каждая ось будет представлена вектором, проходящим через начало координат. Самый простой способ — представить проекцию точки на каждую ось и вычислить ее расстояние до начала координат. Для этого требуются значения на компонентах для псевдонаблюдений, определенных единичной матрицей порядка Это не что иное, как строки матрицы нагрузок Н, два первых столбца которой задают соответствующие координаты случайных переменных в двумерном пространстве. Соединив каждую из этих точек с началом координат, получим один тип двойственного графика. Точки, лежащие вблизи вектора и далеко от начала координат, должны иметь большие значения (положительные или отрицательные) по соответствующей случайной переменной.

Метод проще понять, если проанализировать разложение матрицы X по сингулярным значениям, которое в данном разделе будем записывать в виде Отсюда следует, что дисперсионно-ковариационная матрица [см. определение 16.1.1] и столбцы матрицы Н идентифицируются как компонентные нагрузки, введенные в разделе 17.2. Следовательно, наблюдениям соответствуют строки матрицы а псевдонаблюдениям, представляющим случайные переменные, соответствуют строки матрицы Строки матриц и Н задают двойственные графики, и произведение двух матриц воспроизводит матрицу данных X, по крайней мере в том случае, когда представлена полная размерность пространства. Если представлено только измерений, то, как следует из теоремы Экарта—Юнга, такое представление является наилучшей, в смысле наименьших квадратов, аппроксимацией ранга для матрицы X. Следовательно, если - представляет наблюдение, переменную, О — начало координат, то является аппроксимацией для

Вместо графического изображения единичных псевдонаблюдений может представлять интерес проецирование точек на первоначальные оси, которые, скажем, находятся на расстоянии одного среднеквадратичного отклонения от начала координат. При хорошей аппроксимации длйны результирующих векторов дают полезную информацию об относительной вариабильности исходных случайных переменных. Если сначала нормализовать матрицу X так, чтобы все случайные переменные имели единичное среднеквадратичное отклонение, то все спроецированные векторы должны быть одинаковой длины. Однако это возможно лишь при немногих аппроксимациях. Используя другой тип биплота, можно добиться лучшей аппроксимации дисперсий и ковариаций. При этом столбцы матрицы задают координаты выборок, являются векторами случайных переменных, так что

скалярное произведение двух множеств воспроизводит матрицу X. Длины векторов определяются как , т. е. матрицей . Следовательно, длины равны среднеквадратичным отклонениям, а скалярные произведения пар векторов определяют ковариации. Косинус угла между двумя векторами соответствует корреляции между двумя случайными переменными; полностью коррелированные переменные порождают совпадающие векторы, а слабо коррелированные переменные порождают почти ортогональные векторы. Двумерное приближение, конечно, является аппроксимацией Экарта—Юнга для матрицы Доля суммы квадратов, вычисленная для размерности равна

где собственное значение матрицы Такой тип двойственного графика лучше передает распределение случайных переменных по сравнению с прежним. Однако здесь искажаются расстояния между элементами. В предыдущем варианте расстояния аппроксимировали евклидовы расстояния между строками матрицы X, вычисленные по теореме Пифагора. В данном варианте расстояния вычисляются из условия . Это один из типов расстояния Махаланобиса [см., например, Rao (1965) — С], однако следует помнить, что и не является независимо вычисленной матрицей дисперсий внутри совокупности. Идемпотентность означает, что если вводится расстояние Махаланобиса, то точки обладают следующим свойством: их сумма квадратов постоянна во всех направлениях, и любая -мерная проекция имеет сумму квадратов, равную . Доля вычисленной суммы квадратов равна для двумерного графика она равна Существует мнение, что на биплоте первого типа точки адекватно передают наблюдения, но векторы плохо передают случайные переменные в отличие от графика второго типа. Наилучший вариант — представить графически для наблюдений и для случайных переменных, но при этом теряется связь скалярных произведений с матрицей X.

Другой тип биплота соответствует ситуации, когда X рассматривается как таблица с двумя входами размерности [см. раздел 7.5.2], а не как матрица данных. Тогда нет смысла работать с отклонениями от средних по столбцам. Поскольку строки и столбцы имеют одинаковый статус, умножение на сингулярные значения в качестве весовых коэффициентов должно быть сбалансированным, и поэтому лучше отобразить Процедура построения биплота та же, что и прежде, но в данном случае нельзя интерпретировать два множества точек в терминах случайных переменных/наблюдений.

Особый интерес представляет случай, когда матрица X имеет ранг 2, и, следовательно, ее разложение по сингулярным значениям содержит только два члена:

Такой вид соответствует простой аддитивной модели

в которой всегда можно ввести новую параметризацию, приводящую к Выразив X в виде

где легко обнаружить, что матрица X имеет необходимый вид ранга 2. Записав приходим к

где вектор с элементами — отклонениями от среднего значения для других векторов. Геометрическая интерпретация такого преобразования состоит в том, что начало координат для точек-строк находится в точке, соответствующей их среднему; аналогично и для точек-столбцов. Итак, две конфигурации остаются неизменными, за исключением того, что одно множество сдвинуто относительно другого и введено новое общее начало координат. Старые и новые оси параллельны, поэтому преобразование не изменяет углов и не нарушает коллинеарности. Поскольку матрица X имеет специальную аддитивную форму, ее левая часть заполнена нулями, так что с учетом вида ее разложения по сингулярным значениям имеем для элемента

Поэтому линия, соединяющая точку со средними значениями ортогональна линии, соединяющей точку со средними значениями Это справедливо для всех и , следовательно, точки, соответствующие строкам матрицы X, лежат на одной прямой так же, как и точки, соответствующие столбцам. Эти две прямые ортогональны. Результат не зависит от того, распределены ли сингулярные значения одинаково по строкам и столбцам. Любое разбиение удовлетворительно.

Более общее представление ранга 2 таблицы с двумя входами:

Такая модель предложена Дж. Тьюки [см. Tiikey (1949)] для анализа неаддитивности. Легко увидеть, что структура имеет ранг 2, если записать X в виде Как и в случае линейной модели,

что, вообще говоря, не равно нулю, поэтому в данном случае двойственные графики не сводятся к парам ортогональных осей. Факт, что они вообще сводятся к линиям, следует только из того, что вид X ранга 2 обозначает, что векторы и, и лежат на плоскости, содержащей векторы 1 и а. Таким образом, существуют числа такие, что

Исключив получаем Это означает коллинеарность двойственного графика для точек, соответствующих строкам. Подобным же образом можно продемонстрировать свойство коллинеарности для точек, соответствующих столбцам.

Общая модель ранга 2 для таблицы с двумя входами не приводит к коллинеарности, хотя подмножества точек могут быть расположены на одной прямой. Это означает, что, хотя для представления всей таблицы необходима общая модель, отдельные ее подтаблицы могут быть аппроксимированы более простыми моделями.

Промежуточной между простой аддитивной и самой общей моделью ранга 2 является постолбцовая регрессионная модель Мандела [см. Mandel (1961)]

и соответствующая построчная регрессионная модель. Поскольку

существуют числа такие, что

откуда, как и в предыдущем случае, следует, что точки, представляющие строки, лежат на одной прямой. Однако лежат на плоскости и не образуют линейный график. Из выражений для следует, что расстояние между парами точек соответствующих строкам, пропорционально Таким образом, легко визуально оценить значения параметров. Этот результат также справедлив для более простой линейной модели, задаваемой

Выше было показано, как вид модели порождает различные виды двойственных графиков. Справедливо также обратное: различные виды графиков могут порождаться только рассмотренными моделями. Двойственные графики могут служить для проверки адекватности линейной модели, модели Тьюки или постолбцовой/построчной регрессии; в частности, они показывают, адекватна ли простая линейная модель для описания таблицы с двумя входами (более подробное изложение этих проблем см. в работе [Bradu and Gabriel (1978)], где благодаря энтузиазму К. Р. Габриеля содержатся многочисленные ссылки на литературу по двойственным графикам).

1
Оглавление
email@scask.ru