12.2.4. ДВЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОБЪЯСНЯЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

В целях простоты удобно рассмотреть сначала ситуацию, когда переменные ортогональны, а затем и общий случай. Доказательства для приведенных результатов опускаем.

Модель:

независимы и одинаково распределены по нормальному закону.

Оценки метода наименьших квадратов:

При этом

причем и независимы и одинаково распределены. Теорема Гаусса—Маркова означает, что оценки метода наименьших квадратов имеют минимальные дисперсии в классе всех линейных несмещенных оценок.

Подогнанные значения и отклонения. Вектор расчетных значений в ортогональном случае представим в виде При этом

Все фигурирующие здесь линейные комбинации векторов у и нормально распределены.

Дисперсионный анализ. Каждое слагаемое в разложении суммы квадратов имеет нецентральное распределение масштабированное дисперсией

Суммы квадратов первых двух строчек таблицы независимы между собой и независимы от остаточной суммы квадратов. Несмещенная оценка равна:

Пример 12.2.1. Две ортогональные объясняющие переменные. Вернемся к численному примеру из раздела 12.1.4.

Данные: матрица скалярных произведений

первое наблюдение: .

Модель:

Требуется найти доверительный интервал для оценку для провести дисперсионный анализ для проверки гипотезы построить доверительный интервал для отклонения, соответствующего первому наблюдению.

Доверительный интервал для Обратимся к и при этом заметим, что

Имеем:

Поэтому доверительным интервалом будет Например, если то этот интервал будет равен (0,34, 2, 96). Оценка По приведенной выше формуле

Модифицированный доверительный интервал равен: , где 2,31 — пороговое значение -статистики распределения Стьюдента с 8 степенями свободы [см. приложение 5].

Дисперсионный анализ для проверки гипотезы

Поскольку при -ном уровне значимости критическое значение равное 5,32, превосходит полученное 3,58, мы заключаем, что гипотеза принимается. Это означает, что фактор в нашей модели может быть опущен.

Отклонения. Расчетное значение у при равно Поэтому первое отклонение равно: Далее находим

Если то интервал включает 0, поэтому нет причин считать первое отклонение резко выделяющимся.