13.6. ПКОВ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ГИПОТЕЗ

До сих пор обе гипотезы считались простыми. Теперь мы займемся построением последовательных критериев, когда одна или обе гипотезы являются сложными.

Рассмотрим сначала случай, когда , а вероятность ошибки I рода равна а. Решение, позволяющее построить ПКОВ, состоит в том, чтобы заменить сложную гипотезу простой, указав единственное значение параметра такое, что

Из леммы Неймана—Пирсона следует, что такая замена приводит к наилучшему критерию для выборки фиксированного объема для проверки гипотезы против когда для нормального распределения с известной дисперсией математическое ожидание неизвестно [см. раздел 5.12.2].

Мы можем пойти тем же путем для последовательного критерия, если ОХ ПКОВ для фиксированных значений удовлетворяет условиям при при причем Однако такой путь оставляет открытым вопрос о выборе Экспериментатор, выбирая определенное значение по существу, объявляет, что ему безразлично, какое решение (принять или отклонить гипотезу будет принято при значениях заключенных между .

В то же время для и для , он надеется, что будет принято решение принять гипотезу или отклонить соответственно. Принятие гипотезы в результате приводит к принятию

Предположим теперь, что проверяется гипотеза против Эту ситуацию тоже можно свести к проверке двух простых гипотез, введя такие два значения что экспериментатору безразлично, какое решение будет принято при Однако для значений он хотел бы принять гипотезу а для — отклонить Фиксируя значения экспериментатор задает значения в двух точках: Принятие гипотезы приводит к принятию

Пусть 0 обозначает неизвестную долю неисправных изделий, получающихся в результате некоторого производственного процесса. Партия, содержащая большое число изделий, будет принята, если и забракована, если

Решение относительно каждой партии можно вынести на основе проверки всех изделий. При этом в каждом случае будет принято верное решение.

Более эффективный способ состоит в организации последовательной проверки каждой партии и принятии в результате одного из двух решений. Для производителя может оказаться удобным найти два значения доли, такие, что в диапазоне его устроит любое решение, но чтобы при этих фиксированных значениях вероятность ошибки I рода, равная вероятности отклонить партию при была бы равна а, а вероятность ошибки II рода, равная вероятности принять партию при была бы равна

Значение а есть мера желания производителя уменьшить количество ошибочно забракованных партий, а — мера желания производителя не отправлять заказчику партии, которые следовало бы забраковать.

К несчастью, именно значения 0 в зоне безразличия приводят к наибольшим значениям ожидаемого объема выборки в ПКОВ при проверке гипотезы против

Очень трудно построить ПКОВ для случая, когда гипотеза проверяется против альтернативы . В этой ситуации зону безразличия можно было бы задать числом 6, так что при экспериментатору безразлично, какое решение будет принято. Если то гипотеза должна быть отклонена.

Предположим, что вероятность ошибки I рода зафиксирована на уровне и пусть вероятность ошибки II рода равна для в диапазоне . В этом случае требуется, чтобы для заданного значения

В гл. 4 книги Вальда [см. Wald (1947)] предлагается подход к построению ПКОВ, основанный на так называемых «весовых функциях». Пусть — весовая функция, по определению обладающая свойствами

где через Т обозначена область Для заданной весовой функции положим

Левая часть предыдущего равенства есть взвешенное среднее всех возможных значений вероятности ошибки II рода. При этом условие больше не должно выполняться при всех значениях .

Рассмотрим теперь только взвешенные критерии, которые удовлетворяют последнему ограничению на Предыдущее уравнение для наблюдений принимает вид

Через обозначено множество значений приводящих к отклонению Меняя порядок интегрирования, получим

Член в квадратных скобках представляет собой просто взвешенное среднее (с той же весовой функцией, что и раньше) всех значений плотности вероятностей в точках выборки для всех значений . Поскольку это — взвешенное среднее функций плотности вероятностей, оно также является функцией плотности вероятностей. В измененных условиях так что при выполнении истинной функцией плотности вероятностей служит . Гипотеза состоит в том, что истинной плотностью является Обе гипотезы оказываются простыми, потому что в каждой из них функция плотности вероятностей полностью определена. Поэтому ПКОВ базируется на отношении

где

и

Границы остановки выражаются через как обычно.

Весовая функция например, может иметь смысл априорного распределения вероятностей значений [см. гл. 15]. Построение последовательного критерия без такой модификации читатель может найти в работах [Wald (1947), гл. 4] и [Wetherill (1975), гл. 4].

Очевидно, что такой подход может быть использован как для сложных гипотез, которые мы рассматривали раньше, так и для ситуации, в которой есть несколько неизвестных параметров и требуется проверить часть из них при мешающих параметрах.