14.4. ОДНОВЫБОРОЧНЫЕ КРИТЕРИИ

В этом разделе обсуждается случайная выборка, состоящая из наблюдаемых значений случайной величины X с неизвестной функцией распределения . В соответствующей параметрической ситуации проверки гипотез мы рассматривали, например, -критерий [см. раздел 5.8.2], с помощью которого проверяются гипотезы о математическом ожидании. В непараметрическом контексте математическое ожидание во многом теряет свое значение и внимание следует обратить на понятие медианы генеральной совокупности, т. е. на такое значение случайной величины X, для которого

14.4.1. КРИТЕРИЙ ЗНАКОВ

На основе случайной выборки мы хотим проверить нулевую гипотезу Ни что медиана равна определенному значению Построим критерий для проверки

против

В критерии знаков в качестве статистики используется число наблюдений больших Если какое-нибудь наблюдение равно принято игнорировать его и уменьшать на 1. Каково бы ни было распределение X (при условии, что оно непрерывно), мы знаем, что каждое наблюдение с вероятностью 1/2 больше медианы независимо от всех остальных наблюдений. Отсюда если выполняется и то имеет биномиальное распределение с

Очевидно, что сравнительно малые или большие значения заставят нас усомниться в том, что верна, поэтому мы построим критическую область вида

где значение — размер критерия [ср. с разделом 5.2.1, е)]. Оно определяется из условия Вычислить можно либо прямым подсчетом с использованием таблиц биномиального распределения, либо с помощью нормальной аппроксимации биномиального распределения [см. II, раздел 11.4.7]. При выполнении статистика приближенно нормальна с параметрами и аппроксимация достаточно хороша для 10.

Описанный выше критерий является двусторонним [см. раздел 5.2.1]. Мы можем построить аналогичные односторонние критерии, когда утверждает, что . В этих случаях будет иметь вид (или ).

Пример 14.4.1. Критерий знаков. Случайная выборка из непрерывного распределения содержит 10 наблюдений:

Предположим, что гипотеза Ну утверждает, что а альтернатива утверждает, что Критическая область имеет вид

и нам нужно выбрать самое большое с, такое, что (для критерия с 5%-ным уровнем значимости) [см. раздел 5.2.1, е)]. Из (14.4.1) следует:

Поэтому для критерия с уровнем значимости мы берем и получаем Мы наблюдаем значение которое не попадает в критическую область. Поэтому на -ном уровне значимости у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о том, что

Альтернативный подход состоит в вычислении достигаемого уровня значимости [см. раздел 5.2.1, п. е)]; т. е. вероятности получить при нулевой гипотезе результат не меньше наблюдаемого. Здесь мы наблюдаем поэтому достигаемый уровень значимости для этого одностороннего критерия равен:

Это большая вероятность [см. табл. 5.2.1], и данные надо расценивать как согласующиеся с нулевой гипотезой.