18.5.5. ЧАСТНАЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ (ЧАКФ)

Несколько другой способ полезного представления информации, содержащейся в появляется в связи с задачей построения прогноза. Зная стационарного временного ряда, мы располагаем всей необходимой информацией для построения линейного МНК-предиктора (на один шаг вперед) по конечному числу предыдущих значений, скажем, для по Если временной ряд является гауссовским, такой предиктор можно интерпретировать как уоловное математическое ожидание [см. II, раздел 8.9] значения при известных которое в этом случае совпадает с линейной регрессией на эти переменные. Обращение к линейному МНК-предиктору позволяет нам отказаться от предположения относительно гауссовского закона, и мы получаем тот же ответ, что и в гауссовской ситуации. Коэффициенты предиктора определяются по корреляциям между переменными, т. е. по величинам Выпишем прогноз, или регрессионное уравнение

где линейная комбинация — предиктор, а — ошибка прогноза. Первый индекс к у коэффициента , и у ошибки подчеркивает то обстоятельство, что при включении в уравнение новых членов, например вычисленные ранее коэффициенты должны измениться. Мы не включаем в предиктор константу, предполагая, что в противном случае нужно просто заменить на Обозначим дисперсию ошибки прогноза через и отношение — через .

Формально для нахождения коэффициентов необходимо решить систему к линейных уравнений, определяющих минимум суммы квадратов, однако автокорреляционная структура ряда позволяет указать быстрый рекурсивный способ нахождения решения. Этот факт, бесспорно, имеет большое практическое значение, в частности, в таких областях, как геофизика, где для построения хороших оценок АКФ используется большой объем данных. Порядок предиктора к при этом может достигать нескольких сотен.

Приведем рекурсивную процедуру вычисления коэффициентов. Вначале полагаем На первом шаге имеем

и далее для

Поясним вывод этих уравнений из стандартной теории метода наименьших квадратов [см. гл. 8], которая излагалась в более общей ситуации.

Пусть вычислена МНК-регрессия [см. раздел 6.5.1] зависимой переменной на множество переменных с ошибкой . Если в уравнение вводится новая переменная некоррелированная с то вычисленные ранее коэффициенты не меняются, а коэффициент при может быть представлен в виде

где

В свою очередь дисперсия ошибки преобразуется следующим образом:

Если же новая переменная не является некоррелированной с ее можно заменить на переменную полученную ортогонализацией, т. е. коррекцией путем вычитания из нее ее линейного предиктора, использующего уже существующие переменные Коэффициент корреляции в (18.5.23) в этом случае называют частной корреляцией между , и в гауссовском случае он является просто условной корреляцией при известных

Применим эти результаты к временному ряду, основываясь на уравнении (18.5.17). Вводя новую переменную мы не можем считать ее некоррелированной с так что необходимо построить скорректированную переменную Но для нее имеем

т. е. для построения обратного предиктора для коррекции можно использовать те же самые коэффициенты и те же самые переменные, что и для но взятые в обратном порядке.

На этом последнем шаге как раз и используют для вычислительных нужд специальную структуру стационарного временного ряда. Это следует непосредственно из того факта, что корреляция между переменными зависит от величины временного лага между переменными. Более того, так как является ошибкой (обратного) прогноза,

Новый коэффициент при вычисляется теперь с помощью (18.5.22) по формуле

Из уравнений (18.5.25) и (18.5.26) вместе с (18.5.27) непосредственно следует первое уравнение цикла (18.5.19). Добавление нового члена к предыдущему предиктору вносит поправки в существующие коэффициенты, как и во втором уравнении цикла (18.5.20). Наконец, с учетом (18.5.26) и (18.5.23) замечаем, что новый коэффициент совпадает с корреляцией (между Отсюда в силу (18.5.24) получаем последнее уравнение цикла (18.5.21).

Частной автокорреляцией между при известных называют коэффициент который выражает величину дополнительной информации, полученной при включении в линейный предиктор для Частной автокорреляционной функцией (ЧАКФ) называют последовательность этих коэффициентов. Они удовлетворяют единственному ограничению: в остальном они могут принимать любые значения, и если задана такая последовательность значений, по ней можно построить соответствующую обратив рекурсивную процедуру. Однако практически неизменное условие существования положительного нижнего предела для дисперсии ошибки прогноза влечет за собой сходимость ряда Ефкк, в частности