16.4.2. ФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ

Предположим, что -мерная случайная величина X имеет среднее О и ковариационную матрицу V полного ранга . В противном случае X получается вычитанием среднего вектора из исходной случайной переменной

Предположим, что каждая переменная может быть выражена как линейная комбинация к ненаблюдаемых факторов так что

где параметры линейной модели известны как факторные нагрузки, а — случайная ошибка, ассоциированная только с

Для дальнейшего предположим, что — некоррелированные случайные переменные со средним 0 и дисперсией — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними и неизвестными дисперсиями величины и некоррелированы.

При таких предположениях дисперсия из (16.4.1) может быть представлена в виде

где известна под названием общности, которая представляет часть дисперсии обусловленную «факторами», а — часть дисперсии обусловленная ошибкой.

Ковариация между задается выражением

Аналогично получаем

Представим факторную модель в матричной форме:

где есть -матрица нагрузок. Тогда будем иметь разложение ковариационной матрицы

где — диагональная матрица порядка содержащая дисперсии ошибок.