13.7. КРИТЕРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДВУХ БИНОМИАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Предположим, что нужно сравнить два биномиальных распределения вероятностей. Обозначим через вероятности успеха, а — вероятности неудачи в испытаниях из популяции 1 и 2 соответственно. Требуется проверить гипотезу против альтернативы Предполагается, что все наблюдения из обеих популяций независимы. Основные трудности при построении последовательного критерия в этой ситуации связаны, во-первых, с тем, что гипотезы содержат два неизвестных параметра и не указано ни определенное значение, ни область значений для во-вторых, с тем, что наблюдения берутся из двух источников, так что при каждом испытании надо решать, из какой популяции выбирать следующее наблюдение. Для преодоления второго затруднения предположим, что наблюдения берутся парами, по одному из каждой популяции. Результатом каждого испытания может быть одна из пар , в которых первый член обозначает результат испытания в популяции 1, а второй — в популяции 2. Эти четыре результата имеют вероятности соответственно. Только два из этих результатов дают информацию о разности между а именно (1,0) и , и поэтому представляется разумным строить критерий только на основании этих исходов: (1,0) поддерживает гипотезу гипотезу

Если рассматривать только пары (1,0) и , то условная вероятность получения исхода равна:

Условная вероятность исхода (1,0) поэтому равна .

Серии испытаний, в которых наблюдаются только исходы или , образуют новое множество испытаний. В нем успехом считается результат , встречающийся с вероятностью в, а неудачей — результат с вероятностью . Поэтому если среди полученных результатов встретилось пар , то правдоподобие равно Если то при исход более правдоподобен, чем и при получаем Теперь мы можем изложить два метода решения этой задачи: по Вальду [см. раздел 13.7.1] и по Армитейджу [см. раздел 13.7.2].

13.7.1. МЕТОД ВАЛЬДА

Гкпотезы Но и можно заменить гипотезами против причем принятие или отклонение гипотезы приводит к принятию или отклонению

Применяя идеи из предыдущего раздела, можно еще больше упростить ситуацию, введя два значения параметра так, что для в в промежутке любое решение одинаково приемлемо для экспериментатора. Зафиксировав можно применить ранее рассмотренный биномиальный ПКОВ для проверки гипотезы против и воспользоваться им для проверки против

13.7.2. МЕТОД АРМИТЕЙДЖА

Армитейдж рассмотрел модификацию критерия Вальда в применении к планированию последовательных медицинских испытаний. Вероятности в этом случае можно интерпретировать как долю успехов при использовании двух методов воздействия 1 и 2.

Проблема в этом случае сводится к проверке трех гипотез (для простоты гипотезы выбраны симметричными):

(воздействие 2 предпочтительнее, чем воздействие 1),

(воздействие 1 предпочтительнее, чем воздействие 2).

Соответствующий критерий является двусторонним, а альтернативные гипотезы симметричны относительно Значение вероятности ошибки I рода поэтому равно вероятности принять или при т. е. сумме вероятности принять при и вероятности принять при

Для удобства обозначим суммарную вероятность ошибки I рода через , а вероятность принять при и равную ей вероятность принять при — через а. Вероятность ошибки II рода обозначим через . В этой ситуации возможны два критерия, которые следует применить: против против

Критерий Армитейджа основан на статистике которая равна разности между числом исходов и в испытаниях. Пусть обозначает наблюдаемое число пар , а — число наблюдаемых пар . Тогда так, что .

Отношение правдоподобия для проверки против равно:

После простых преобразований получаем, что равен

Этот критерий проверки против при фиксированных а и и обычных границах представляет собой ПКОВ. Получающиеся границы остановки в координатах

Рис. 13.7.1. (см. скан) Открытая последовательная схема для проверки гипотезы против

представляют собой две параллельные прямые где

и

Точно так же, используя симметрию между получим, что границами остановки при проверке против Н х служат прямые

На рис. 13.7.1 приведены границы для Область пересечения границ (обозначенная пунктирной линией) трудна для интерпретации и поэтому она включается в область продолжения испытаний. Это приводит к критерию проверки гипотез с открытыми границами.

Чтобы избежать слишком длительного продолжения испытаний до принятия окончательного решения и тем самым исследования слишком большого числа пациентов, Армитейдж предложил завершать процедуру

Рис. 13.7.2. (см. скан) Закрытая последовательная схема для проверки гипотезы против

по достижении заранее заданного числа исходов или . При этом следует изменить внутренние границы в описанном открытом критерии и выбрать максимальный объем выборки так, чтобы новый критерий имел заданные уровни ошибок а и . При этом некоторые точки, бывшие точками остановки в открытом критерии, теперь станут точками продолжения испытаний. П. Армитейдж предложил практический метод определения числа [см. Armitage (1973)].

На рис. 13.7.2 изображен критерий с замкнутыми границами, получающийся при и соответствующий значению

Ограничение по изображаемое прямой линией, параллельной оси можно заменить двумя отрезками, обозначенными на рисунке буквами Это позволит прекратить испытания раньше в случае, когда в результате принимается гипотеза Если достигается какая-нибудь точка на этих отрезках, то ни одна из внешних границ уже не может быть достигнута, даже если оставшиеся испытания приводят к результату или все — к результату .

13.7.3. ОБСУЖДЕНИЕ

Для любого ПКОВ можно задать максимальное число наблюдений как внешнее условие эксперимента. При этом строятся обычные параллельные границы остановки, но испытания прекращаются, как только произведено наблюдений.

Окончательное решение после наблюдений при условии, что ни одна из границ остановки не была достигнута раньше, можно задать правилами:

где

К сожалению, такое ограничение изменяет значения ошибок I и II рода и они перестают быть равными исходными значениями Эффект ограничения, очевидно, уменьшается с ростом

Обобщая предыдущий критерий, можно рассматривать проверку гипотезы против как проверку против пары альтернативных гипотез Детальное обсуждение последовательных критериев для проверки этих трех гипотез содержится в работе [Wetherill (1975), гл. 3].