16.5. КАНОНИЧЕСКАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

16.5.1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим две векторные случайные переменные обе с математическим ожиданием, равным 0. (Это не является ограничением, поскольку мы интересуемся только корреляциями между переменными.) Пусть ковариационные матрицы [см. определение 16.1.2] для X и будут соответственно

а матрица кросс-ковариаций между X и

Предположим, что являются положительно определенными [см. определение 16.1.3] и — матрица полного ранга Каноническая корреляция используется для упрощения описания зависимости между X и задаваемой матрицей при рассмотрении корреляции между линейными комбинациями двух наборов переменных.

Этот метод продуцирует некоррелированные пары скалярных (одномерных) случайных переменных, таких, что оба члена некоторой пары коррелированы друг с другом. Пара с наибольшей парной корреляцией (по абсолютному значению) называется первой парой, и далее пары упорядочиваются вплоть до пары, которая имеет наименьшую (ненулевую) корреляцию. Таким образом может быть получено более экономное описание зависимости между X и чем определяемое матрицей .

Соответствующие линейные комбинации известны как канонические переменные. По аналогии с анализом главных компонент несколько первых канонических переменных с наибольшими каноническими корреляциями может быть использовано для

приближенного описания зависимости между X и Y.