19.5.2. СТЕПЕНЬ УВЕРЕННОСТИ КАК ВЕРОЯТНОСТЬ

В гл. 15 и в многих разделах этой главы при разработке байесовских выводов и процедур принятия решений мы предполагали, что «степень уверенности» можно выразить числами или плотностью, подчиняющимися правилам исчисления вероятностей. Некоторым из читателей это может показаться совершенно естественным и не требующим дальнейших обоснований, другим же необходимы по крайней мере общие доводы в поддержку такого предположения.

Вот один из таких доводов. Предположим, что некто (например, вы) встретился с неопределенной ситуацией, включающей событие Е, исход которого (Е или не Е) неизвестен. Во всех практически важных для вас ситуациях у вас есть некоторое ощущение — назовем его степенью уверенности — относительно «правдоподобия» исходов Е и Именно это ощущение мы прежде всего и хотели бы перевести в количественную форму, а затем показать, что соответствующие величины должны (при выполнении некоторых дополнительных условий) подчиняться правилам исчисления вероятностей.

Приведем операционную схему перевода степени уверенности в числовую форму. Рассмотрим игру, в которой вы получаете сумму если происходит событие Е, и нуль, если происходит Получение какой суммы (обозначим ее ) было бы для вас равноценно однократному участию в такой игре?

Ясно, что если С очень мало по сравнению с , то вы предпочтете сыграть; если же С велико по сравнению с то выгоднее наверняка получить сумму С, а не ввязываться в игру.

Предположим, что вы продумаете свою реакцию на получение различных сумм, начиная с малых С, по мере их увеличения, или с больших сумм по мере их уменьшения. Тогда найдется промежуточное значение С, получение которого равноценно участию в игре. Обозначим его через (Конечно, на практике существует целый «нечеткий» интервал таких сумм, а не одно точно определенное значение. Но мы несколько «идеализируем» все виды измерения, например, во многом основываемся на предположении, что все тела имеют точную «длину» или «температуру», хотя на практике они могут быть измерены только с точностью до некоторого «нечеткого» интервала.)

По определению будем считать вашей (выявленной) степенью уверенности в исходе Е такое число что

Заметим прежде всего, что это согласуется с нашими интуитивными представлениями: низкой степени уверенности соответствуют малые значения а высокой — большие значения

Чтобы убедиться в честности ваших ответов при определении нейтрального значения С, добавим еще следующую проверку. Предположим, что когда вы называете значение С, вам еще неизвестно,

Рис. 19.5.1. «Честное» С приводит к равноценности ситуаций а и б

пригласят ли вас сыграть (в соответствии с выбранным значением вы не отказались бы заплатить сумму С за участие в игре с выигрышем , если событие Е произойдет, и , если произойдет ) или выполнять роль букмекера (проводящего эту игру со ставкой С. Это значит, что вы должны выбрать такое С, которое было бы нейтральным в обоих ситуациях, показанных на рис. 19.5.1.

Указав таким образом способ получения неискаженной количественной оценки степени уверенности в осуществлении события Е, проследим теперь, как могут быть связаны между собой степени уверенности в осуществлении различных событий.

Рассмотрим такую ситуацию. Задан полный набор попарно несовместимых событий . Описанным способом вы определили степени уверенности для каждого из них. После того как вы зафиксировали ваш оппонент совершенно свободно назначает цены в предположении, что вы согласитесь уплатить за участие в игре, в которой вы получаете выигрыш если происходит событие Как должны быть согласованы числа чтобы избежать ситуации, в которой противник сможет выбрать значения так, чтобы наверняка выиграть? Будем называть нерациональным любой способ задания при котором вы можете неизбежно проиграть. Таким образом, наш вопрос можно сформулировать и так: каким правилам должны подчиняться рациональные степени уверенности?

Во-первых, заметим, что для всех должно быть Действительно, по определению степени уверенности любой выбор вне этого интервала позволяет противнику выбрать свою роль (игрока или букмекера) так, что он наверняка выиграет. А именно выбор означает, что вы готовы заплатить сумму, большую, чем за участие в игре с максимальным выигрышем . А выбор означает, что вы хотите заплатить противнику за участие в игре, в которой он получит (от вас!) 0 или Во-вторых, заметим, что ваши «выигрыши» (которые, конечно, могут быть и отрицательными) удовлетворяют системе линейных уравнений

если происходит событие (Суммарный вступительный взнос равен а выигрыш составляет если событие происходит.)

Запишем систему полностью:

и переформулируем задачу. Противнику заданы числа и он стремится выбрать так, чтобы получить значения которые он хочет. В частности, он хотел бы сделать все отрицательными (напомним, что — это ваши выигрыши). Сможет ли он при заданных решить систему уравнений и найти необходимые значения При рациональном выборе множества значений он не сможет решить соответствующую систему уравнений. Напомним известный факт из линейной алгебры: решение приведенной системы можно выписать явно, если матрицу (определяемую величинами можно обратить. Напомним еще, что обращение невозможно, если определитель матрицы равен нулю.

Простое вычисление показывает, что определитель равен так что рациональный набор степеней уверенности для полного множества попарно несовместимых событий должен удовлетворять условию

Таким образом, мы показали, что рациональные степени уверенности должны обладать основными свойствами вероятностей: их значения заключены между 0 и 1; они удовлетворяют аксиоме сложения вероятностей.

Чтобы завершить краткое оправдание обоснованности рассмотрения степени уверенности как вероятности, нам нужно разобрать понятие «условной» степени уверенности, т. е. проследить, как степень уверенности меняется при получении новой информации.

Рассмотрим два способа Е и и пусть

Сыграем теперь в игру, аналогичную предыдущей, исходы которой определяются в терминах событий с условием, что если событие не происходит, то пари, заключенные на осуществление Е при условии осуществления расторгаются (т. е. входные ставки возвращаются). Как должны быть связаны чтобы не дать противнику возможность выбрать такие ставки, при которых вы заведомо проиграете?

Рассмотрим три исхода: 1) осуществление Е при условии, что Е" произошло; 2) осуществление Е и осуществление Е" с соответствующими «выкупами» Подсчитаем ваши выигрыши во всех трех случаях.

Перепишем эти равенства в виде

Те же аргументы, что и раньше, показывают, что для обеспечения рациональности решения следует выбрать так, чтобы определитель матрицы был равен нулю.

В данном случае определитель равен так что степени уверенности должны удовлетворять условию

Тем самым показано, что рациональные условные степени уверенности подчиняются обычному определению условной вероятности.

Можно было бы возразить, что если суммы велики, то сама процедура определения степеней уверенности неприменима из-за феномена «нежелания рисковать», обсуждаемого в разделе 19.3.1. Это верно, и поэтому предыдущие рассуждения допустимы либо при «малых» значениях при которых полезность можно считать (приближенно) линейной, либо при значениях определяемых заранее заданной шкалой полезности (построенной, например, при помощи метода, описанного в разделе 19.3.3).

19.6. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ

(см. скан)