20.2. МОДЕЛИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

20.2.1. УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ И ИЗМЕРЕНИЯ

Для применения фильтра Калмана требуется, чтобы поведение изучаемой системы описывалось величиной, называемой состоянием системы, и которая может быть определена в терминах дифференциального или разностного уравнения первого порядка (в зависимости от того, непрерывно или дискретно время известного под названием уравнения системы. Рассмотрим линейную модель с дискретным временем, что облегчит вывод уравнений фильтра Калмана, а также будет соответствовать наиболее важному случаю, когда фильтр реализуется на вычислительной машине. Тогда уравнение системы будет иметь вид

где - вектор фазовых переменных состояния (в связи с чем и возникает термин «фазовое пространство состояний»), — -матрица перехода, -вектор шума системы (или ошибки модели), который можно интерпретировать как процесс, «ведущий» . С уравнением системы связано уравнение измерения

где — -вектор измерений, -матрица измерений, описывающая при отсутствии шума линейные комбинации фазовых переменных, -вектор ошибок измерений. Для завершения описания спецификации модели предположим, что средние значения

шумов равны нулю, а ковариационные матрицы — и

Предположим также, что процессы, описывающие шумы, не являются сериально или кросс-зависимыми; в частности,

и

Наконец, обычно предполагают, что шумы имеют гауссовское (нормальное) распределение; однако это условие не обязательно при рассмотрении фильтра Калмана, хотя в гауссовском случае линейная оценка, используемая при применении фильтра Калмана, является оптимальной (в смысле среднеквадратичной ошибки) среди всех возможных оценок. В негауссовском случае нелийейные оценки в принципе обеспечивают лучшее качество, но, как правило, их гораздо труднее реализовать; фильтр Калмана дает линейную несмещенную оценку с минимальной дисперсией [см. раздел 3.3.2].

Для данной дискретной линейной динамической системы в фазовом пространстве (уравнения (20.2.1) и задача состоит в том, чтобы оценить состояние (фазовую переменную) из зашумленных наблюдений При этом можно сформулировать три различные задачи:

а) фильтрации: измерения используются для того, чтобы сформировать оценку состояния в момент

б) сглаживания (интерполяции): измерения используются, чтобы построить оценку состояния в некоторый предшествующий момент, т. е. когда

в) прогноза (экстраполяции): измерения используются для построения оценки состояния в будущий момент времени, т. е. при

Во многих практических ситуациях принятие решения производится с учетом самой последней доступной информации о поведении системы, поэтому в первую очередь представляют интерес задачи фильтрации и прогноза; эти задачи решаются при помощи фильтра Калмана рекуррентным образом, что делает его особенно удобным при принятии решений в реальном времени.