11.2.2. ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ И ЕЕ МАКСИМУМ

Два простейших предположения относительно получения данных состоят в том, что, во-первых, каждый объект получается случайным выбором из некоторой генеральной совокупности и, во-вторых, при наблюдаемых значениях объясняющих переменных наблюдений зависимой переменной статистически независимы. Выборка, удовлетворяющая этим условиям, является репрезентативной для совокупности. Из соображений симметрии все объекты рассматриваются в процедуре вывода с одинаковыми весами. Эти два предположения о случайности выбора и независимости наблюдений обусловливают аддитивность функции логарифмического правдоподобия

где — лог-правдоподобие одного наблюдения из экспоненциального семейства, определенного в (11.1.4).

Дифференцируя по получаем

Определим вектор V X и диагональную матрицу Н следующим образом:

Поскольку

первую и вторую производные от можно записать в виде

и

где — обычное скалярное произведение. Эти уравнения следует отметить за их простоту и общность одновременно.

Значение доставляющее максимальное значение, является решением уравнения

для которого матрица размера с элементами отрицательно определена. Для решения этого уравнения может быть использован итеративный алгоритм взвешенного метода наименьших квадратов. Он обсуждается в разделе 12.3.5. Так как Н диагональна, решение будет точкой максимума, если все элементы Н отрицательны. Это обычная ситуация для линейных моделей с плотностями из экспоненциального семейства.

При наличии решений уравнений правдоподобия 0 вектор подогнанных значений может быть получен как

где

Пример. Биномиально-логистическая модель. Имеются данные о числе смертей в шести группах из пяти мышей. Мышам из одной группы была введена одинаковая доза препарата Массив данных:

Модель:

линейный предиктор:

функция связи:

так что

лог-правдоподобие:

уравнения правдоподобия:

Решение: (проверяется подстановкой). Подогнанные значения получаются из формулы

что дает .

В данном случае нет необходимости в рассмотрении гессиана полностью, чтобы проверить, является ли данное решение максимумом. Легко видеть, что

и, таким образом, элементы матрицы Н всегда отрицательны.