18.5.3. СПЕКТР И ВЫБОРОЧНЫЙ СПЕКТР

Представление (18.5.10) периодограммы через выборочную АКФ непосредственно основано на следующем определении, использующем теоретическую АКФ.

Определение 18.5.1. Спектр. Спектром временного ряда с называется функция

Определение 18.5.2. Выборочный спектр. Выборочным спектром наблюдений называется функция

Множите составляющий единственное отличие выборочного спектра от периодограммы, обеспечивает равенство

Это соотношение показывает, как можно распределить полную дисперсию в интервале плотностью аналогично разложению дисперсии (18.3.5), из которой в случае четного следует равенство

распределение выборочной дисперсии по гармоническим компонентам. В различных ситуациях спектр приходится нормировать с помощью различных множителей, например, если используется абсолютная частота пробегающая интервал [0, 0,5], то множитель нужно заменить на 2. Неравенство будет кратко объяснено в следующем разделе.

Эквивалентность спектра и АКФ доказывается формулой обращения, аналогичной (18.5.11). Поскольку спектр является бесконечным тригонометрическим рядом, можно воспользоваться свойствами ортогональности для тригонометрических функций в интегральной форме [см. II, раздел 20.4] для вычисления коэффициентов ряда:

Определение спектра мотивированно главным образом соотношением

которое само по себе не удивительно и непосредственно следует из того, что

Более значительным и удивительным фактом является то, что хотя для каждого фиксированного к при смысле сходимости по вероятности и каждый член суммы в определении 18.5.2 сходится к соответствующему члену в определении 18.5.1, тем не менее не сходится к ни в каком смысле. Фактически выборочный спектр имеет некоторое фиксированное распределение, зависящее от теоретического спектра.

Теорема 18.5.1 (Распределение выборочного спектра). Для больших величины являются независимыми экспоненциально распределенными случайными величинами со средним , где — гармонические частоты.

Мы не будем доказывать эту теорему, но отметим, что ее справедливость уже доказана нами для частного случая, когда при образуют случайную выборку и спектр постоянен. Это было сделано при исследовании свойств периодограммы для модели 3 в разделе 18.3.5. Простейшими условиями для справедливости теоремы являются условия из раздела 18.5.1, но, как будет показано в разделе 18.6.4, их можно значительно ослабить.

То обстоятельство, что выборочный спектр не является состоятельной оценкой [см. раздел 3.3.1, п. в)], имеет большое практическое значение, но не следует непосредственно из определения 18.5.2. Причина этого явления состоит в том, что с ростом в сумме, стоящей в этом определении, появляются новые слагаемые; для построения состоятельных оценок спектра необходимо, чтобы количество членов в этой сумме было в определенном смысле ограничено. Подобные методы описаны в разделе 18.10.2; однако при визуальном исследовании выборочного спектра или периодограммы нетрудно увидеть форму лежащего в их основе спектра.