20.5.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ: ОБОБЩЕННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА

Во многих практических ситуациях изучаемые системы не являются линейными. Обычно состояния таких систем эволюционируют в непрерывном времени в соответствии с дифференциальным уравнением первого порядка вида

причем механизм измерений также может быть нелинейным и описываться формулой

Задача фильтрации, заключающаяся в оценивании по непрерывным измерениям или дискретным наблюдениям допускает аналитическое решение с явными формулами для оптимального фильтра. Однако вычисления, которые необходимо проделать, чтобы получить численные результаты для такого фильтра, оказываются чрезвычайно трудоемкими. Поэтому для указанных нелинейных задач возникает необходимость в их приближенном решении. Мы опишем здесь одну из возможных аппроксимаций — обобщенный фильтр Калмана, который оценивает по данным помощи применения фильтра Калмана к разложению Тейлора первого порядка для уравнений (20.5.5) и (20.5.6) [см. Jazwinski (1970), раздел 8.3].

Указанное разложение берется в окрестности решения детерминированной компоненты уравнения (20.5.5), т. е. функции, удовлетворяющей уравнению

Линеаризованные выражения для (20.5.5) и (20.5.6) имеют вид

Здесь — матрицы частных производных функций и вычисленные в точке Подставляя (20.5.7) и (20.5.8), получим

Введем новые переменные:

в терминах которых пара уравнений (20.5.10) и (20.5.9) может быть переписана в виде

Получившаяся линейная непрерывная модель в пространстве состояний в точности того же типа, что и модель, заданная уравнениями (20.5.2) и (20.5.3). Отметим, что все функции от могут быть вычислены с любой желаемой степенью точности при помощи, например, метода численного интегрирования Рунге—Кутта [см. II, раздел 8.2.2].

При применении обобщенного фильтра Калмана требуется некоторая осторожность, поскольку о качестве его функционирования мало что можно сказать. Так как ряд Тейлора оборван на первом члене, аппроксимация нелинейной системы будет лучше, если члены и малы. Следовательно, если отношение сигнал—шум велико, можно предполагать, что при указанном подходе трудностей не возникает. В процессе работы фильтра матрицы могут служить показателями того, являются ли достаточно малыми величины и

В отличие от линейных систем матрицы связаны с уравнениями фильтрации через . В общем случае последние величины не могут быть вычислены с учетом доступной информации. Они не стремятся к стандартным значениям, как в случае линейных систем с постоянными параметрами. Как и для линейного фильтра Калмана, качество функционирования обобщенного фильтра Калмана можно проверять с использованием обновлений, причем чем ближе последние к белому шуму, тем ближе фильтр к оптимальному. Устойчивость обобщенного фильтра Калмана обсуждается в работе [Ljung (1979)].

Можно построить фильтры для случая, когда в разложениях Тейлора берутся два члена. Такие фильтры называют обобщенными фильтрами Калмана второго порядка. Применение фильтров указанного типа описано в [Moore and Weiss (1980 b)].

Общих критериев, дающих представление о том, какой алгоритм работает лучше при данной конкретной задаче, не существует. Каждая ситуация должна изучаться отдельно. Читатель, впрочем, должен иметь в виду, что эффект расходимости и плохое функционирование в нелинейных системах возникает достаточно часто, поэтому построение фильтров требует значительных усилий.