14.2.2. КРИТЕРИЙ СМИРНОВА. ДВЕ ВЫБОРКИ

Критерий Смирнова для двух выборок также использует понятие эмпирической функции распределения. Но в этом случае нас интересует, являются ли две независимые выборки наблюдений выборками из одного и того же распределения. Точнее говоря, имеется случайная выборка из совокупности с непрерывной функцией распределения и независимая случайная выборка из совокупности с непрерывной функцией распределения Мы хотим проверить гипотезу

против

Заметим, что мы не уточняем, какова на самом деле общая форма

По двум выборкам можно определить две эмпирические функции распределения . В двувыборочном критерии Смирнова используется статистика

которая является наибольшим отклонением между двумя эмпирическими функциями распределения. Случайная величина зависит от через и от

Если выполняется то можно ожидать, что эмпирические функции распределения будут «далеки». Так что в качестве критической области размера а мы можем взять

где снова — константа, выбранная так, что Точное выборочное распределение при выполнении известно.

Его таблицы содержатся в — табл. L, с. 278], для — в табл. 15.4, с. а для — в [Massey (1952)].

Снова распределение не зависит от общей формы и в Для больших (больше 40) для определения можно использовать следующие аппроксимации:

Пример 14.2.3. Двувыборочный критерий Смирнова. Предположим, что мы получили две независимые выборки из двух совокупностей:

На рис. 14.2.4 показаны обе эмпирические функции распределения Можно видеть, что

Рис. 14.2.4. Эмпирические функции распределения для примера 14.2.3

Найдем из таблиц [Massey (1952)], что для критерия при 5%-ном уровне значимости критическая область имеет вид

Наблюдаемое значение не попадает в критическую область. Поэтому наш уровень значимости превышает 5% и данные можно считать согласующимися с гипотезой что две совокупности имеют одно и то же распределение.