20.7.2. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА

а) Гидрологическая модель. Второй из рассматриваемых примеров исследования также относится к прогнозу в реальном времени расхода воды в реке в зависимости от осадков в районе Хирнант (площадь 33,9 км2) реки Ди в Северном Уэлсе, Великобритания [см. Moore and Weiss (1980 b)]. Здесь, в отличие от примера из раздела 20.7.1, прогнозирующая модель формируется как нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. Таким образом, модельная структура получила предварительное описание на гидрологическом уровне, и задача состоит в использовании обобщенного фильтра Калмана для оценивания состояния и прогноза.

Дифференциальное уравнение модели записывается в виде

где — поток, входной процесс осадков, задаваемый формулой

где — чистый временной а

Лагирование и сглаживание входного процесса осадков представляют собой традиционные методы в гидрологическом моделировании. Значения параметров скользящего суммирования определяются отдельно от оценки параметров а, b и с в дифференциальном уравнении. Параметр с является коэффициентом, который отвечает за «потери» при превращении осадков в расход, возникающие, например, за счет влажности почвы в районе водосбора. Параметры управляют, главным образом, характером динамического отклика расхода на второй процесс осадков. Подробности, касающиеся формулировки модели, содержатся в работах [Moore and Weiss (1980 a, b)].

Рис. 20.7.3. Изменение функции прогноза в момент наблюдения для нелинейной гидрологической модели

б) Формулировка в фазовом пространстве. Необходимо отдавать себе отчет о том, что описанная выше модель не может быть идеальным представлением реальной ситуации, она является лишь некоторым приближением к ней.

Пусть обозначает непрерывный временной параметр, а к — индекс дискретного времени, обозначающий значение которое совпадает с точкой дискретного. времени. Пусть расход в момент известен и равен Пусть — функция, удовлетворяющая равенству

Истинное, но пока неизвестное значение величины расхода в момент а именно будет отклоняться от экстраполированного значения на величину [см. рис. 20.7.3], так что

Предполагается (для равноотносящихся что независимы, одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и дисперсией Следовательно, представляет собой член, отражающий отклонение модельной динамики от идеальной и наличие шума в модели. Когда параметры известны, эта модель может служить для прогноза потока в момент по формуле

Возникающая здесь практическая задача состоит в оценивании параметров. После ее решения прогноз будущих значений расхода получают путем решения дифференциального уравнения для

Состояние системы в произвольный момент времени описывается тремя параметрами и с, которые мы будем обозначать вектором состояния

Предположим априори, что в начальный момент времени этот вектор состояния нормально распределен со средним значением и дисперсией Предполагается также, что параметры не меняются в зависимости от времени, поэтому уравнение системы записывается в виде

Чтобы иметь согласие с предыдущими обозначениями, обозначим через измеренную величину потока в момент так что

Соотношение (20.7.17) дает уравнение измерения

Для того чтобы подчеркнуть зависимость от значения параметров х и начального условия заменим на . В результате уравнение наблюдений примет вид

где предполагается, что не зависит от последовательности Уравнения (20.7.20) и (20.7.23) являются формулировкой модели в фазовом пространстве. Этот подход к определению вектора состояния в терминах параметров, требующих оценивания, и величины, которую необходимо прогнозировать, описан в работах [Маупе (1964)], [Graupe (1972)] и [Szollosi-Nagy (1975)], но только для линейных моделей.

Отметим, что в данной формулировке предполагается, что величина водного расхода измеряется без ошибки. Это предположение является фундаментальным при рассмотрении приведенных выше уравнений состояния. Одно из физических оправданий указанного предположения состоит в том, что наблюдения потока, будучи пространственно интегрированными измерениями водного объема, существенно менее зависят от шума, чем измерения величины осадков, произведенные в различных точках. Ошибки в измерениях осадков добавляются к ошибкам, вызванным неадекватностью модели, и компенсируются членом стохастических возмущений Предыдущий опыт с получением фильтрационных оценок водного расхода совместно с

оценкой параметров посредством обобщенного вектора состояния [см. раздел 20.6.3, п. б)] свидетельствует об отсутствии выигрыша при таком способе фильтрации и укрепляет уверенность в том, что лучше всего сразу считать измерения потока свободными от ошибок.

в) Оценивание параметров. Параметры, определяющие распределенные во времени входные воздействия и чистый временной получаются с помощью процедуры «отбеливания», подобной той, что описана в работе [Box and Jenkins (1976)]. Главную проблему составляет оценивание параметров а, b и с, которая решается путем применения обобщенного фильтра Калмана к данной выше формулировке модели в фазовом пространстве.

В настоящем контексте, когда нелинейность имеется только в уравнении измерения, обобщенный фильтр Калмана выводится из обычного алгоритма фильтра Калмана для линейных систем путем линеаризации уравнения измерения около текущей оценки х так, как было описано в разделе 20.5.2. Для этого случая матрица измерений (здесь вектор-строка размерности три), отвечающая линеаризованному уравнению, состоит из частных производных первого порядка функции по трем параметрам. Ее элемент определяется равенством

Процедура, применяемая для вычисления производных описана в [Moore and Weiss (1980, а, b)]. Во избежание расходимости фильтра используется фильтр, экспоненциально взвешенный по времени [см. раздел 20.4.2]. Результирующий алгоритм приведен в табл. (20.7.2). Отметим, что введение фильтра с затухающей памятью позволяет ослабить предположение о стационарности, сделанное в уравнении системы (20.7.20). Такой подход, по-прежнему предупреждая расходимость фильтра, дает возможность ввести в модель нестационарность, обусловленную, например, сезонностью или увлажнением бассейна. Изучение изменения параметров во времени может привести к дальнейшей модификации ее структуры, которая позволит описать причины изменений и предсказать события в будущем.

Таблица 20.7.2. Алгоритм обобщенного фильтра Калмана для нелинейной гидрологической модели

Продолжение

г) Результаты. В описанной выше задаче оценивания состояния и прогноза использовались данные, представляющие собой измерения количества осадков и величины водного расхода, производимые каждые полчаса за период с 1 ноября по 30 декабря 1972 г. Графики данных представлены на рис. 20.7.4, а) и б). Входной процесс осадков Р в (20.7.15) определялся как т. е. считалось, что адекватным являлся простой на 1/2 часа.

Начальные значения для параметров, образующих вектор состояния х, были выбраны совершенно произвольными: Степень доверия, связанная с этими начальными оценками, выражалась ковариационной матрицей ошибки состояния, которая была диагональной с диагональными элементами, равными 0,05. Дисперсия шума измерения была фиксирована на уровне 0,01. Заметим, что относительные значения Р и влияют на поведение фильтра [см. (20.3.18)] в большей степени, чем их абсолютные значения, вызывающие меньший практический интерес. Временная константа экспоненциально взвешенного по времени фильтра была выбрана таким образом, что ценность наблюдений для фильтра падала вдвое через три дня.

Автокорреляционная функция для ошибок одношагового (получасового) прогноза (или обновлений) изображена на рис. 20.7.5. Обновления должны быть некоррелированы, если фильтр оптимален; однако рис. 20.7.5 показывает, что имеются небольшие, но существенные корреляции на коротких лагах, и это находит свое отражение в статистически значимой величине статистики [см. (20.4.8)], равной для 27 степеней свободы). Статистика [см. (20 4.9)] также указывает на некоторую остаточную кросс-корреляцию между обновлениями и входным процессом осадков; значение равно 191. Эти результаты говорят об субоптимальности фильтра, которая, возможно, имеет место в силу использования линейной аппроксимации для нелинейной системы и (или) того, что шум в истинной системе не удовлетворяет предположениям рассматриваемой модели в фазовом пространстве. Графики прогнозов на один час (т. е. на 2 шага вперед) и ошибок прогнозов на трехдневный период иллюстрируют существо

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 20.7.7. Ошибки часового прогноза для района Хирнант реки Ди в период с 1 ноября по 30 декабря 1972 г.

проблемы [см. рис. 20.7.6 и 20.7.7]: на восходящей волне интенсивности дождей прогнозы величины потока завышаются, а на пике и в начале нисходящей волны занижаются. Изучение рис. 20.7.1, б) показывает, что та же проблема возникает и в случае линейного фильтра Калмана, даже если автокорреляционная функция [см. рис. 20.7.2] указывает на то, что обновления образуют белый шум. Перечисленные особенности результатов можно отнести к тому факту, что шум, входящий в гидрологические модели, не является белым: он имеет тенденцию концентрироваться «кусками» вблизи моментов выпадания осадков и быть более похожим на дробовой шум [см., например, Рагzen (1962)], чем на белый. Тем не менее с функциональной точки зрения обобщенный фильтр Калмана — по-прежнему удовлетворительный инструмент для сглаживания и прогнозирования, поэтому субоптимальность не является сдерживающим фактором для его практических применений. Таким образом, статистические тесты не должны рассматриваться как пробный камень для вынесения суждений о модели и качестве фильтра, к тому же они могут не учитывать и некоторых недостатков. Пользователь должен исходить из того, являются ли полученные с помощью модели результаты приемлемыми для дальнейшего применения.