11.3.5. ДВУХФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ ДВУХВХОДОВОЙ МОДЕЛИ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Пример, рассмотренный здесь, иллюстрирует приложение линейных моделей к анализу планирования экспериментов. В теории линейных моделей многое было стимулировано развитием экспериментального подхода в сельском хозяйстве и медицине.

Следующий эксперимент был спланирован для исследования влияния сульфатов на урожайность пшеницы. Рандомизированный блочный план состоит из шести блоков, каждый из которых содержит четыре делянки [см. пример 9.7.1]. Каждому из четырех уровней обработки удобрением (А — без удобрения, фунтов, фунтов, фунтов) соответствовала одна делянка внутри каждого блока. Данные об урожайности приведены в следующей таблице:

Урожайность пшеницы в рандомизированном блочном эксперименте

Основная идея плана состоит в получении шести измерений на каждую обработку, которые не подвержены [см. раздел 9.9] влиянию различий между блоками (последние могли бы быть представлены различиями в типах почвы или сортах пшеницы). Для этих данных естественным кандидатом для модели является предположение, что урожайность У распределена с тождественной функцией связи среднего и линейного предиктора. Объясняющие переменные являются индикаторными векторами для обработок и индикаторными векторами для блоков Массив данных содержит 24 элемента. Очевидный выбор для линейного предиктора Чтобы это увидеть, обозначим через ожидаемый урожай для обработки в блоке. Если бы различие между обработками или между блоками отсутствовало, то величина была бы постоянной, скажем X, для всех 24 элементов. Эквивалентными спецификациями являются

Если же различие между блоками существует (что вероятно по причине блокирования [см. раздел 9.3]), то может зависеть от Пусть — добавочный эффект на урожайность, обусловленный блоком. Тогда или, что эквивалентно,

Если имеются различия в обработке, то

Таким образом, предполагается, что взаимодействие между блоками и обработками отсутствует, т. е. эффект блокирования и эффект обработки аддитивны.

Детали процедуры оценивания опускаются. Заметим только, что подогнанные величины для моделей непосредственно задаются с помощью

и

Для проверки влияния обработок вычисляются величины

и

Предположение аддитивности эффектов обработки и блоков является важным для дальнейшего анализа, когда может быть исключена только приравниванием величине ее степеней свободы так что Модель, которая содержит все взаимодействия обработок и блоков, равно как

и неизвестный параметр масштаба, будет неидентифицируемой. Чтобы увидеть это, заметим, что модель со взаимодействиями содержит индикаторных вектора. Но имеется только 24 результата наблюдения. Так как число параметров равно числу наблюдений, модель является насыщенной моделью. Следовательно, и не остается степеней свободы, чтобы получить оценку для Если подозревается наличие взаимодействия между блоками и обработками, то это должно быть учтено на стадии планирования введением повторных комбинаций обработка-блок.

В условиях аддитивности Тестовая статистика для проверки различий, обусловленных обработками, есть

Это отношение имеет -распределение с 3 и 15 степенями свободы и значимо на -ном уровне Ясно, что различие, обусловленное обработками, отсутствует.

Более систематическое представление результатов дано с помощью графика девиаций и таблицы дисперсионного анализа (ANOVA).

Таблица ANOVA (см. скан)

Исследование этих данных и моделей можно было бы продолжить для проверки отдельных уровней обработки и изучения соответствующих

остатков. (Из некоторых соображений следует, что эффект обработки мог бы быть аппроксимирован квадратичной функцией; урожайность растет скачками, начиная с А, достигает максимума на уровне С, а затем слегка падает; урожайность участка, обработанного на уровне С в блоке 5, кажется слишком малой, на что указывают и вычисления остатков )

Сбалансированность. Девиации для моделей даны в дереве девиаций. В этом эксперименте они удовлетворяют равенству

так что девиация, относящаяся к обработкам, одна и та же независимо от того, были ли блоки выровнены. Это свойство есть следствие сбалансированности плана эксперимента и модели, используемой для анализа. На стадии планирования эксперимента каждая обработка была приписана точно один раз каждому блоку. Аддитивная модель и предположение, что каждое наблюдение имеет одинаковую дисперсию, вместе обусловливают сбалансированность модели.