18.7.6. СЕЗОННАЯ МОДЕЛЬ БОКСА—ДЖЕНКИНСА ДЛЯ РЯДА АВИАПЕРЕВОЗОК

Мы уже отмечали, что взятие разности в форме

может упростить временной ряд при исключении из него явно выраженных временного тренда и сезонных изменений. Привлекательное обобщение ЭВСС-предиктора на сезонные временные ряды автоматически приводит к моделям, включающим такие операторы взятия разности. Для ряда авиаперевозок построим прогноз январских значений ряда с помощью ЭВСС-предиктора лишь по предшествующим январским значениям; аналогично поступим для февраля, марта и всех других месяцев. Можно надеяться, что для всех месяцев можно будет взять один и тот же сглаживающий параметр 9 и трендовую постоянную . Результат подгонки такой модели показан на рис. 18.2.1, д), где изображены ошибки прогноза на один шаг вперед. Они похожи на ошибки, возникающие при подгонке классической модели и показанные на рис. 18.2.1, б). Они также тесно связаны с сезонной разностью ряда изображенной на рис. 18.2.1, в), так как

что является сезонной версией модели значения параметров равны

Построенный по этой модели прогноз наблюдений за последний год показан на рис. 18.4.1, он в целом лучше, чем прогноз по классической модели. На самом деле можно показать, что в пределе, когда модель (18.7.42) становится эквивалентной классической модели (18.2.1), так что можно ожидать, что введение свободного параметра может улучшить подгонку.

На самом деле тренд ряда медленно меняется, так что ошибка на рис. 18.2.1, д) помимо более или менее случайной составляющей содержит еще медленные изменения уровня. Далее, при рассматриваемом сезонном предикторе не используются самые последние 11 значений ряда, так что естественно попытаться улучшить прогноз, предсказывая эти изменения уровня на основании последних ошибок прогноза, скажем, с помощью обычного ЭВСС-предиктора с параметром применяемым к месячному интервалу. Полученный прогноз уровня используется затем для коррекции сезонного прогноза, давая окончательный прогноз. Ошибки в такой схеме показаны на рис. 18.2.1, е) и оказываются заметно меньше, нежели любые другие.

Модель, возникающую в результате этого двухшагового процесса, можно получить следующим образом. Ряд ошибок после применения сезонной процедуры ЭВСС связан с рядом формулой

а ряд ошибок возникающих после применения последней процедуры ЭВСС, связан с формулой

Соединяя эти соотношения вместе, получаем

где мы снова предполагаем, что — последовательность независимых одинаково распределенных величин. Это — знаменитая модель авиаперевозок, предложенная Боксом и Дженкинсом [см. Box and Jenkins (1976)], включающая двойной разностный оператор , введенный нами в разделе 18.4. Оба значения были подобраны так, чтобы обеспечить наилучшую подгонку с помощью точных МНК-оценок, согласно которым Отметим, что веса, приписываемые предыдущим наблюдениям сезонной ЭВСС-составляющей модели, практически вырождаются за пределами пятилетнего промежутка времени, тогда как аналогичные веса, связанные с несезонной частью, вырождаются за пределами двух-трехмесячного промежутка. Это — свидетельство того, что сезонные изменения весьма устойчивы, хотя колебания уровня и тренда также необходимо учесть.

Указание на применимость этой модели для описания ряда можно обнаружить при исследовании выборочной АКФ разностного ряда, которая соответствует сезонной модели СС. Для такой модели АКФ обладает следующими свойствами:

в остальных случаях.

На практике, как следует из рис. 18.2.1, ж), величины дают наиболее ясное свидетельство в пользу именно такого поведения выборочной АКФ.

Прогнозирующая функция для модели авиаперевозок также имеет простую структуру. Поскольку ряд описывается моделью в соответствии с (18.7.43), то при откуда

где операторы действуют по . В силу (18.4.1) это означает, что содержит регулярный сезонный цикл и линейный тренд, определяемые начальным множеством значений для Конкретное поведение будет наиболее сильно зависеть от недавних наблюдений и с ростом пересчитывается по мере поступления новых данных.