Главная > Справочник по прикладной статистике. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

17.5. АНАЛИЗ СООТВЕТСТВИЙ

Метод анализа соответствий, как и двойственный график, — версия общей мультипликативной модели, обсуждаемой в разделе 17.3. Как специальная модель для анализа таблиц сопряженности с двумя входами она нашла применение и при обработке других типов данных. Метод (во французском варианте: analyse factorielle des correspondences) широко используется группой французских статистиков под руководством профессора Ж. Бензекри (J. P. Benzecri). Совсем недавно С. Нишисато [см. Nishisato (1980)] ввел термин дуальное шкалирование для целой области анализа данных; кроме того, он сделал замечательный

исторический обзор, отражающий развитие интереса к этому направлению. Стартовая точка — таблица X с двумя входами, которая рассматривается как таблица чисел. Пусть суммарные значения по строкам и столбцам матрицы X «упакованы» в диагонали матриц При применении метода анализа соответствий оперируют с матрицей которая является специальной стандартизованной формой матрицы X, вычисленной по формуле

(В этом выражении — диагональная матрица с диагональным элементом диагональный элемент матрицы Имеем Аналогично Следовательно, — пара сингулярных векторов (если они нормализованы должным образом), соответствующих единичному сингулярному значению. Тогда разложение матрицы по сингулярным значениям может быть записано в виде

где — нормализующий множитель, который определяется из условия, что сумма квадратов элементов обеих матриц равна сумме элементов матрицы X. Когда X — неотрицательная матрица, единичное сингулярное значение является максимальным. Это следует из того, что сингулярные значения матрицы являются квадратными корнями из собственных значений матрицы которая сама неотрицательна. Как было показано, единичное сингулярное значение соответствует положительному вектору, из теоремы Фробениуса—Перрона [см. I, теорема 7.11.1] следует, что оно должно быть максимальным. Если матрица X не является положительной, то суммы по строкам и столбцам могут не быть положительными и не обязательно существуют действительные матрицы Даже если суммы по строкам и столбцам положительны, не обязательно положительна, и, следовательно, максимальное сингулярное значение матрицы не обязательно единичное. Преобразовав определенное выше разложение матрицы по сингулярным значениям, получим Отсюда видно, что правая часть равенства есть разложение матрицы в левой части по сингулярным значениям. Ее элементы:

Последнее выражение представляет собой квадратный корень из элемента критерия Пирсона Для проверки независимости классификаций строк и столбцов таблицы сопряженностей X [см. раздел 7.5.1].

Отсюда следует, что задает декомпозицию статистики с соответствующими модельными членами Проще рассматривать этот метод как способ подгонки простых мультипликативных моделей (включая двойственные графики) к производной матрице что в большой мере зависит от того, является ли преобразование X в адекватным и интерпретируемым.

Переход к матрице полезен в экологических исследованиях. Здесь строки матрицы X соответствуют разным участкам, а столбцы — разным видам растений. Тогда задает количество видов у, произрастающих на участке Часто интерес представляют численности для участков и в меньшей мере численности для видов. При этом участки могут быть упорядочены (и, следовательно, построена ординация) в соответствии с предположениями об экологических тенденциях. Поскольку одни участки богаче по видам растений, чем другие, и одни виды произрастают в гораздо большем количестве, чем другие, необходима специальная корректировка. Запишем неизвестные численности, относящиеся к участкам (строки матрицы), в вектор а неизвестные численности, относящиеся к видам (столбцы), — в вектор Тогда средняя численность для участка, рассчитанная по численности для видов, равна Она должна быть пропорциональна численности для участка. В матричном виде это записывается как

Аналогично из численностей по участкам вычисляются численности по видам:

Из этих соотношений следует, что — сингулярные векторы матрицы соответствующие сингулярному значению а. Максимальное значение определенное выше, соответствует векторам

которые содержат одинаковые численности и поэтому не представляют интереса.

Численности, вычисленные по второй паре сингулярных векторов матрицы находятся из уравнений

Отсюда Могут быть использованы последующие пары сингулярных векторов; они будут определять второй набор численностей, третий и т. д. Вторая и - третья пары отмасштабированных сингулярных векторов могут быть представлены одновременно в виде, напоминающем двойственный график, а иногда интересно представить визуально сами численности. Таким образом, как и в «биплот-ной» технике, здесь мы имеем «свободное от распределения» сингулярное значение по при любом способе действий, однако метод анализа соответствий обеспечивает, кроме того, возможность выбора графического представления Обычно используется комбинация двух видов шкалирования, состоящая в наглядном представлении Расстояния (или их квадраты) между парами точек, соответствующих строкам, вычисляются

(Мы опустили члены, не влияющие на расстояние.) Квадрат расстояния между строками (в пространстве полной размерности) определяется выражением

которое называется расстоянием Если строки пропорциональны, соответствующие им точки совпадают. Аналогичное выражение определяет расстояния между точками-столбцами. При таком подходе процедура представления данных в пространстве более низкой размерности не является приближением в смысле наименьших квадратов.

Совершенно ясно, что существует множество сингулярных значений и множество способов шкалирования строк и столбцов. В практических ситуациях зачастую трудно сделать выбор между ними.

1
Оглавление
email@scask.ru