18.8.4. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ МОДЕЛИ АР(р)

Мы рассмотрим только случай модели на примере которого хорошо видна и общая ситуация. Чтобы воспользоваться методом максимума правдоподобия, вычислим функцию плотности распределения вероятности наблюдений как

Такое разложение возможно, так как процесс образует цепь Маркова с единичным интервалом зависимости [см. II, раздел 19.2].

Далее, снова предположим, что условное распределение при известном нормально. В соответствии с моделью (18.8.4) это распределение имеет среднее и дисперсию так что

или

Если мы будем рассматривать величину как известную и тем самым потеряем одну степень свободы, функция правдоподобия как функция от будет эквивалентна сумме квадратов

Минимум этого выражения по равен просто

Эта величина очень близка к выборочной автокорреляции для которой без учета поправки на смещение верхний предел суммирования во второй сумме равен . Одна, возможно, существенная разница заключается в том, что в отличие от (18.8.19) может приводить в крайних ситуациях к значениям Это можно обойти, учитывая информацию о Для этого воспользуемся тем, что частное распределение имеет среднее 0 и дисперсию

Учитывая это соотношение в (18.8.17) и максимизируя по приходим к функции

где

Множитель обеспечивает существование минимума в допустимом интервале хотя теперь для нахождения минимума требуются итерационные процедуры. Для таких процедур оценка может послужить хорошим начальным приближением. Хотя в играет особую легко проверить, что выражение для останется неизменным, если переупорядочить данные в обратном порядке; фактически

Эту симметрию можно использовать в различных замкнутых по форме выражениях при вычислении функции правдоподобия для общих моделей

Другое замечание касается обычно требуемого оценивания среднего значения ряда для чего в сумме величины х, заменяют на При заданном значении оценка получающаяся при минимизации (18.8.23), равна

Если близко к 1, эта величина может на малых выборках заметно отличаться от х. Поэтому рекомендуется использовать для ММП-оценку, а не простую корректировку данных с помощью выборочного среднего.

Наконец, без множителя в (18.8.21) часто можно обойтись по той же причине, по которой обходятся без множителя в (18.7.2). То, что при этом получается, называют точными МНК-оценками, а не ММП-оценками.

В качестве примера к первой разности ряда продолжительности дня была подогнана модель с тем, чтобы провести ее сравнение с моделью построенной в разделе 18.7.3. Обозначая через разности можно записать результат в виде

Хотя подгонка не так хороша, как в модели ее можно рассматривать как хорошее приближение.

Другой пример модели будет приведен в разделе 18.11 для описания структуры ошибок, показанных на рис. 18.2.2, в), которые получены после подгонки синусоидальных компонент к данным о светимости переменной звезды. Модель дает хорошую подгонку ряда поголовья свиней, если только принять во внимание квартальную сезонную составляющую, как будет показано в разделе 18.11.