19.2.2. ПРОВЕРКА ПРОСТОЙ ГИПОТЕЗЫ ПРОТИВ ПРОСТОЙ АЛЬТЕРНАТИВЫ

В разделе 19.1.1 кратко описан способ, как свести процедуру проверки статистических гипотез к специальному классу задач принятия решения. Теперь мы детально проиллюстрируем его в случае проверки простой нулевой гипотезы против простой альтернативной. Если — нулевая гипотеза, а — альтернативная [см. раздел 5.12.2], то параметрическое пространство будет содержать ровно два элемента Как уже говорилось, в задаче проверки гипотез пространство действий тоже состоит из двух элементов обозначает действие «отклонить — «отклонить

Предположим еще, что функция потерь задается таблицей

и что мы наблюдаем случайную величину X с плотностью распределения вероятностей

Найдем сначала вид байесовского решения при заданных априорных вероятности

Вспоминая, что по теореме 19.1.6 байесовское решение при заданном может быть определено как действие, минимизирующее ожидаемые априорные потери, поступим следующим образом. Вычислим апостериорные ожидаемые потери, если в качестве решения взять

и если взять

Здесь мы использовали теорему Байеса, чтобы исключить и

Отсюда следует, что нужно выбрать решение если

или в другом виде, если

Последнее неравенство означает: отклонить гипотезу если отношение значения функции правдоподобия при к значению при меньше некоторого порога. Это есть не что иное, как привычная формулировка леммы Неймана—Пирсона [см. раздел 5.12.2]. Отметим еще, что здесь пороговое значение в правой части неравенства определяется в терминах отношения потерь и априорных шансов гипотез

Чтобы еще лучше понять ситуацию (и метод нахождения минимаксного критерия), рассмотрим случай и будем работать в геометрических терминах.