13.5. ПРИМЕРЫ

Пример и ожидаемый объем выборки для биномиального ПКОВ. ОХ для биномиального ПКОВ принимает значения Для вычисления значения в других точках следует воспользоваться процедурой из раздела 13.3. Нужно найти функцию удовлетворяющую условию

Решая это уравнение относительно , получим

Изменяя значения А, можно получать соответствующие пары значений Для вычисления ожидаемого объема выборки при всех значениях в можно сначала найти из предыдущих формул, затем по формуле

и, наконец,

График для приведен на рис. 13.5.1, а — в табл. 13.5.1.

Пример и ожидаемый объем выборки для нормального ПКОВ. Легко показать, что для нормального ПКОВ, рассмотренного в примере 13.2.2, функция необходимая для вычисления равна:

Отсюда можно вычислить для всего диапазона .

Таблица 13.5.1. (см. скан) Ожидаемый объем выборки для

Рис. 13.5.1. ОХ биномиального

Чтобы определить нужно сначала найти Можно показать, что

Интересно сравнить ожидаемый объем выборки для последовательного критерия и для эквивалентной схемы с фиксированным объемом выборки. Под эквивалентной понимается такая схема с фиксированным объемом выборки, в которой заданы оба значения а и 13, а значения объема выборки и отношения правдоподобия или выборочной статистики определяются так, чтобы принять соответствующее окончательное решение с заданными характеристиками точности

Рассмотрим численный пример, соответствующий примеру 13.2.2, с Как известно, для любых наилучший в смысле Неймана—Пирсона критерий, основанный на выборке фиксированного объема [см. раздел 5.12], имеет вид

где х — среднее выборки, а к — постоянная, зависящая от заданных . Чтобы найти кип для критерия, основанного на выборке фиксированного объема, нужно решить уравнения:

где — функция распределения стандартного нормального распределения.

В табл. 13.5.2 приведены соответствующие ожидаемые объемы выборок для последовательного критерия (в предположении, что есть

истинное значение в) и объемы выборок для критерия, основанного на выборке фиксированного объема, при различных значениях Из этой же таблицы легко получить для сравнения результат, когда истинным значением в является 1. Заметим, что

Во всех случаях наблюдается существенное уменьшение числа наблюдений. Вальд [см. Wald (1947) с. 57; русский перевод: с. 85] показал, что в данной ситуации ПКОВ приводит к экономии примерно 47% наблюдений по сравнению с критерием, основанным на выборке фиксированного объема для любых значений Для выборок фиксированного объема число наблюдений округлено до целого.

Таблица 13.5.2. (см. скан) Сравнение ожидаемого объема выборки и фиксированного объема выборки для проверки гипотезы против в предположении, что истинным значением в является