20.3.3. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ФИЛЬТРА КАЛМАНА

Чтобы описать неопределенность в оценках состояния понадобятся ковариационные матрицы случайных векторов задаваемые равенствами

Подставляя из (20.3.7) в (20.3.9), получаем, что

где — ковариационная матрица определенная в (20.2.3). Члены равны нулю из-за некоррелированности и , следовательно, они не влияют на оценку Диагональные элементы матрицы есть дисперсии компонент оценки вектора состояния. Именно их мы и будем минимизировать. Например, дисперсия компоненты есть элемент с индексом матрицы

где на время мы опустили временнбй индекс и заменили на А. Указанный элемент равен:

где индексы указывают номера элементов матриц. Чтобы найти минимизирующее значение К, будем решать уравнения

при всех и Соответствующие скалярные уравнения могут быть записаны в матричной форме:

откуда

Таким образом, возвращаясь к нашим обычным обозначениям, мы получаем, что оптимальное значение задается формулой

Подстановка в (20.3.10) дает следующее представление для ковариационной матрицы оценок состояния, отвечающей оптимальному значению определяемому равенством (20.3.13):

Это уравнение обеспечивает удобную рекуррентную формулу, позволяющую осуществлять пересчет ковариационной матрицы состояния для учета измерений, произведенных в момент времени