18.11. РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Проблемы выяснения реальной связи между двумя временными рядами весьма многообразны. Вполне возможно предположить, что каждый ряд зависит от одного или нескольких прошлых значений другого. Если эти ряды составляют часть большой системы взаимозависимых рядов и остальные ряды не наблюдаются, то может оказаться невозможным установить причинную связь. В этом разделе мы ограничимся рассмотрением одного временного ряда с объясняющей

Рис. 18.11.1. (см. скан) а) логарифм периодограммы ряда светимости переменной звезды с выделенными главным циклом и первой гармоникой; б) периодограмма ряда поголовья свиней с ясно видной сезонной компонентой на частоте

ременной, характеризующей детерминированные компоненты модели, такие, как циклы, тренд или сезонность. Модели будут иметь форму

где — константы, — объясняющая переменная, а подчиняется модели АРСС. Мы видели на примерах, что иногда главной составляющей является детерминированная часть, а иногда случайная часть (АРСС), но всегда важно построить для обеих составляющих правильные модели.

В качестве первого примера рассмотрим ряд светимости переменной звезды [см. рис. 18.2.2, а)]. Периодограмма этих данных показана в логарифмической шкале на рис. 18.11.1, а). Кроме пиков на частотах 0,245 и 0,491, отвечающих главному циклу в данных и его первой гармонике, видно также общее возрастание уровня при сдвиге к низким частотам. Рассмотрим остатки на рис. 18.2.2, в), полученные после подгонки циклической компоненты ряда. Их АКФ и ЧАКФ показаны на рис. 18.2.2, г), д). Они типичны для моделей Выделенную в разделе 18.2.2 циклическую компоненту можно теперь заново подогнать с одновременной подгонкой модели к случайной компоненте. Остаточная дисперсия при этом уменьшается, так что модель объясняет 97,5% полной дисперсии. Оценки параметров при этом несколько меняются, и хотя эти изменения оказываются не значимыми, их стандартные ошибки при этом возрастают. В частности, стандартная ошибка оценки частоты цикла почти удваивается. Это могло бы иметь значение, если бы спустя некоторое время были проведены новые измерения для проверки, не изменилась ли частота. Оцененные коэффициенты при косинусоидальной и синусоидальной частях основного цикла равны

а для первой гармоники

Оценка частоты равна что соответствует периоду 256,26. Параметр авторегрессии равен

При анализе новых остатков не обнаружилось никаких признаков остаточной автокорреляции, на основании чего можно считать построенную модель адекватной. Это пример ряда со смешанным спектром [ср. с разделом 18.5.4].

Второй пример — ряд продолжительности дня. Модель подогнанную к первой разности ряда, можно переписать в терминах исходного ряда как

где сделана подстановка а среднее первой разности ряда включено как тренд в исходном ряду. Цель такого преобразования — последующая модификация разностного оператора путем подгонки к исходному ряду модели с трендом, а именно

где описывается моделью .

При подгонке этой модели остаточная дисперсия слегка уменьшается до 233,1 по сравнению с 238,7 для модели При этом одна степень свободы была потеряна и соответствующее значение статистики хи-квадрат равно 4,22, что значимо на уровне 5%. Оценки параметров равны

Разлагая на множители, получаем

и видим, что оператор предыдущей модели, характеризующий случайное блуждание, теперь заменен на чисто авторегрессионный множитель (1 — 0,93 В). Остатки в этой последней модели выглядят случайными, хотя и содержат небольшое количество выделяющихся значений и их автокорреляционная функция не обнаруживает какой-либо остаточной структуры. Прогнозы для последних 100 точек ряда (не использовавшихся при подгонке модели) вместе с доверительными границами для ошибок прогноза показаны на рис. 18.5.2, они заметно ближе к фактическим данным.

В качестве третьего примера рассмотрим ряд поголовья свиней. Периодограмма этого ряда, показанная на рис. 18.11.1, б), содержит широкий пик в спектре в области низких частот, который мог бы соответствовать модели и острый пик в точке который может соответствовать сезонной компоненте с периодом 4. Вполне естественно ожидать наличие такой компоненты в квартальном ряду, она оказалась замаскированной размашистыми колебаниями ряда, показанными на рис. 18.1.1, б). АКФ и ЧАКФ ряда, показанные на рис. 18.11.2, свидетельствуют об авторегрессионном поведении, но не о чистой авторегрессии, поскольку ЧАКФ простирается до лага 7, быть может, вследствие сезонности.

Рис. 10.11.2. Выборочная АКФ (а) и ЧАКФ (б) для ряда поголовья свиней

Поэтому к ряду была подогнана модель

в которой — индикаторные переменные, принимающие значения 1 для кварталов и 0 в остальных случаях. Для описания случайной составляющей была взята модель член скользящего среднего включен в модель для сравнения с предшествующим вариантом, в котором не было квартальной компоненты, но член скользящего среднего значим. Необходимость включения квартальной компоненты доказывается резким снижением остаточной дисперсии от 68,1 в старой модели до 39,3 в модели (18.11.3). Оценки параметров модели АРСС следующие:

и параметр скользящего среднего очевидно, не нужен. В соответствии с (18.8.11) параметрам авторегрессии отвечает пик в спектре на частоте, соответствующей периоду в 14,8 квартала.

Ряд остатков и его автокорреляционная функция не обнаруживают какой-либо остаточной структуры. Тем не менее к ряду была подогнана и другая модель, учитывающая сезонные эффекты аналогично модели (18.7.43) для ряда авиаперевозок, основанной на ЭВСС-предикторе. Эта модель допускает изменяющуюся, а не постоянную сезонную компоненту; сохраняя модель для несезонной части, получаем модель

Остаточная дисперсия уменьшилась до 36,9. При этом из-за новых параметров (описывающего среднегодовой прирост или убыль) были потеряны две степени свободы. Соответствующее значение

статистики хи-квадрат, основанной на изменении суммы квадратов остатков, равно 5,6 и не является значимым. Оценки параметров равны:

Хотя нет четких указаний в пользу одели (18.11.4), ее исполт ювание может оказаться предпочтительнее ввиду ее гибкости и приспособленности к изменениям формы сезонной волны.

18.12. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)