20.3. ВЫВОД ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ ДИСКРЕТНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОМ СИСТЕМЫ

20.3.1. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

В разделе 20.2.1 утверждалось, что если шумы системы и измерений являются гауссовскими, то фильтр Калмана дает наилучшую линейную несмещенную оценку состояния более того, эта оценка наилучшая и в классе всех возможных оценок. При таких предположениях вывод уравнений для фильтра естественно получать при помощи рассмотрения соответствующих распределений. Вывод уравнений, который приводится здесь и дает более глубокое понимание функционирования фильтра, свободен от предположений относительно распределений. Фильтр Калмана должен обеспечивать наилучшую линейную несмещенную оценку состояния При этом результат тот же, что и при применении метода, опирающегося на гауссовское распределение шумов.

20.3.2. КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ КАЛМАНА

В примере, приведенном в разделе 20.2.2, прогноз был сделан в предположении точного знания значения Однако в силу наличия шума в измерениях истинное значение никогда не будет известным, а известны только измерения произведенные до момента при помощи которых можно оценить Прогнозное значение будет основываться на этой оценке величины Пусть такая оценка, где индекс означает, что она делается для момента с использованием информации, доступной к моменту Предположим на время, что такая оценка построена. Пусть стал известным результат нового измерения он сам по себе представляет собой оценку но, конечно, содержит шум. Чтобы получить

наилучшую линейную несмещенную оценку формируется взвешенная линейная комбинация двух имеющихся оценок:

где — зависящие от времени весовые матрицы, которые выбираются так, чтобы оценка в каждый момент времени была несмещенной и имела минимальную дисперсию [ср. с разделом 3.2.2].

Сначала воспользуемся условием несмещенности. Если определить ошибки оценок состояния равенствами

и осуществить подстановку выражений для то получим соотношение

где - единичная матрица. По определению и если то подправленная оценка будет несмещенной, т. е. при выполнении равенства Таким образом, несмещенность оценки обеспечивается, если

Использование последнего соотношения в (20.3.1) приводит к представлению

После перегруппировки членов получаем

Соответствующая ошибка оценивания представляется в виде

Уравнение (20.3.6) связывает подправленную оценку и предварительную оценку Оно может быть записано как

где взвешивающая матрица и есть коэффициент усиления Калмана, а величина

называется обновляющим процессом, поскольку она представляет новую информацию, содержащуюся в измерении которая в принципе может быть использована при оценивании Очевидно, в функционировании фильтра коэффициент усиления Калмана играет решающую роль, поэтому желательно выбрать оптимальным, чтобы полученная оценка состояния обладала минимальной дисперсией.