11.1.3. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ

Простой пример с биномиальной логистической кривой дает представление о вероятностной структуре линейной модели и о том, для чего она может применяться.

Основной интерес заключается в выявлении связи между переменной зависимой переменной, и другой переменной или набором переменных известных как объясняющие переменные.

Зависимая переменная есть случайная переменная с функцией плотности вероятности которая, по предположению, является членом

экспоненциального семейства плотностей [см. раздел 1.4.2] и зависит самое большее от двух параметров: линейного предиктора и - «мешающего» параметра. Функция плотности может быть записана как

где линейный предиктор представляет собой линейную комбинацию объясняющих переменных , т. е.

а — константа, не зависящая от объясняющих переменных. Предполагается, что имеется функциональная зависимость (функция связи) между ожидаемым значением зависимой переменной и линейным предиктором

Функция известна как функция связи.

В примере с биномиальной логистической моделью — число смертей в группе из пяти мышей; имеется одна объясняющая переменная х, доза лекарства; функция плотности для биномиальная и является членом экспоненциального семейства. Линейный предиктор есть . Мешающий параметр отсутствует, а функция связи .

В этом примере все составляющие части (плотность, функция связи, предиктор) рассматриваются как известные, и модель готова для использования. В реальной ситуации, когда относительно зависимости между зависимой переменной и объясняющими переменными доступна лишь информация, содержащаяся в наблюдениях над переменными, вероятностная структура неизвестна, она может даже не существовать. В теории линейных моделей мы идем на некоторый компромисс и предполагаем, что функция известна с точностью до параметров

Хотя такое предположение может быть ощибочным, оно очень удобно на практике. Знание ситуации (контекста), порождающей данные, обычно позволяет сделать выбор функций плотности и связи относительно безошибочным, в то время как свобода в подборе подходящих значений параметров обеспечивает гибкость в приложении модели к различным совокупностям данных. В примере с биномиально-логистической моделью это означает, что параметры в линейном предикторе оцениваются из данных. С другой стороны, структура модели не меняется.

Анализ «доза—смертность» с применением другой функции связи проведен в разделе 6.6. В этом случае зависимой переменной соответствует случайная переменная индуцированная числом насекомых погибших в группе из насекомых при применении дозы инсектицида на уровне [см. табл. 6.6.1]. Снова имеется одна объясняющая переменная , где х — назначенная доза инсектицида. Мешающий параметр отсутствует, функцией плотности

зависимой переменной будет где . [Здесь через Ф обозначена стандартная нормальная функция распределения, так что

Линейный предиктор есть , а функция связи

задается как

Итак,

(Здесь обозначает функцию, обратную к Ф.)