19.1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Прежде чем перейти к геометрической интерпретации, нужно ввести еще одну идею. Зададимся вопросом: «Может ли выбор решения основываться на бросании монеты?». Поскольку мы имеем в виду разумный процесс принятия решения, интуиция подсказывает: «нет». Но рассмотрим следующую таблицу, определяющую функцию потерь для задачи, в которой .

Таблица потерь

Следует ли иногда предпринимать действие На первый взгляд нельзя исключить из рассмотрения, поскольку в состоянии , действие лучше, чем , а в состоянии лучше, чем .

Однако предположим, что мы рассматриваем рандомизированное действие, определяемое бросанием монеты: если выпадет герб, избираем , а если решка — . Тогда для такого рандомизированного действия ожидаемые потери при состоянии природы равны:

а в состоянии

Поскольку то в обоих состояниях рандомизированное действие предпочтительнее, чем

Этот пример показывает, что рандомизация может быть разумным рецептом. На самом деле удобнее рандомизировать решающие

Рис. 19.1.6. Общая форма выпуклого множества

правила , а не действия Мы будем обозначать через рандомизированное правило, при котором с вероятностью а принимается решение а с вероятностью — решение .

Риск такого решающего правила, естественно, определяется равенством

И вообще, если то определим решающее правило рандомизированное по элементам из множества решений (Мы можем даже, интерпретируя а как «метку» распределения вероятностей, говорить в некотором смысле о рандомизации по «непрерывным» областям в множестве ) При рандомизации по элементам положим по определению

Допустив возможность рассмотрения любых рандомизаций элементов множества обозначим множество всех рандомизированных решений через . Ясно, что Элементы множества будем обозначать через .

Геометрическая интерпретация в случае существенно упрощается, если использовать понятие множества риска, :

Здесь есть множество всех упорядоченных наборов состоящих из к вещественных чисел; так, например, [см. I, раздел 1.2.6]. Приведенное определение означает, что подмножество в состоит из точек, координата которых равна значению в точке функции риска для некоторого (рандомизированного) решающего правила 6.

Важно заметить, что — выпуклое множество. Это значит, что отрезок, соединяющий любые две точки множества никогда не выходит за его «пределы». Для случая это показано на рис. 19.1.6. Легко понять, как можно доказать выпуклость Все точки на отрезке, соединяющем значения риска для двух решающих правил, скажем , соответствуют значениям риска некоторой рандомизации . Например, Если

Рис. 19.1.7. Геометрическая интерпретация минимаксного подхода

где то Причем

По определению У все такие точки принадлежат У и, стало быть, У выпукло.

Сейчас мы, используя этот факт, приведем геометрическую интерпретацию минимаксного и байесовского подходов.

Минимаксный подход. При заданном величина в случае есть просто где — точка риска, соответствующая решающему правилу 8. При минимаксном подходе решающие правила сравниваются по величине так что при таком подходе все решающие правила с одинаковым значением одинаково хороши. В двумерном случае множество точек , у которых равен заданной величине, образует «выступ» или «угол». Поскольку при минимаксном подходе ищется наименьшее значение , то минимаксным решающим правилом является такая точка (или точки), где угол в 90° соприкасается с нижней (т. е. юго-западной) границей множества риска Эта ситуация показана на рис. 19.1.7, а) и 19.1.7, б), причем во втором случае видно, почему минимаксное решающее правило может быть не единственным (единственность зависит от формы множества , которая в свою очередь определяется задачей принятия решений).

Рис. 19.1.8. Геометрическая интерпретация байесовского подхода

Приведенная интерпретация непосредственно переносится и на к-мерный случай — просто нужно воспользоваться соответствующим обобщением понятия угла в 90°.

Байесовский подход. В случае априорное распределение задается некоторым набором в котором Байесовский риск, соответствующий (рандомизированному) решающему правилу 6, равен:

Предыдущее равенство при фиксированном задает гиперплоскость в -мерном пространстве. В простейшем случае, когда все точки дающие одно и то же значение байесовского риска, лежат на прямой Так как то все такие прямые идут с северо-запада на юго-восток. Но при байесовском подходе ищется минимум поэтому байесовским решающим правилом оказывается точка, в которой прямая вида касается нижней границы множества . Это показано на рис. 19.1.8, а) и рис. 19.1.8, б), причем во втором случае видно, почему и байесовское решающее правило может быть не единственным.

Та же интерпретация непосредственно переносится и на -мерное пространство, если только заменить прямую на касательную гиперплоскость.

Пример 19.1.4. Предположим, что в задаче принятия решений с функция риска задается следующей таблицей:

Рис. 19.1.9. Множество 7, соответствующее таблице функции риска

Множество О и пять точек риска, соответствующие элементам из показаны на рис. 19.1.9. Ясно, что множество состоит из тех и только тех точек, которые можно получить рандомизацией исходных пяти точек риска.

Допустимые решающие правила соответствуют таким точкам в для которых в этом множестве нет точек к юго-западу от них (включая направления строго на юг и на запад; это значит, что для таких точек нельзя найти решающее правило в в точке риска которого одна координата была бы меньше, а другая — не больше, чем у исходной). В данном случае множество допустимых правил соответствует точкам, лежащим между а также между . Иначе говоря, множество допустимых точек состоит из всех рандомизаций правил и .

Минимаксным решающим правилом оказывается поскольку 90°-ный угол (с наименьшей постоянной) касается нижней границы множества в (единственной) точке

Байесовское решающее правило зависит от выбора Представив себе, что вертикальная прямая постепенно поворачивается (против часовой стрелки) до совпадения с горизонтальной , рассматривая точки, в которых прямая касается нижней границы, легко составить следующую таблицу:

Хотя при некоторых можно использовать рандомизированные решающие правила, в этом нет необходимости, потому что при можно с тем же эффектом выбрать или а при