Глава 20. КАЛМАНОВСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

20.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Калмановская фильтрация, впервые предложенная в статьях Р. Калмана и Р. Бьюси [см. Kalman (1960); Kalman and Bucy (1961)], — это метод предсказания поведения сигнала по имеющимся наблюдениям содержащим ошибку таким образом, что Термин фильтрация указывает на стремление удалить шум из наблюдений, так чтобы получить наилучшую оценку истинного сигнала Указанная процедура предусматривается в моделях специального вида, когда поведение подчиняется дифференциальному или разностному уравнению, которое в свою очередь подвержено влиянию случайных возмущений.

Хотя методы фильтрации были развиты задолго до появления фильтра Калмана, а именно в работах А. Н. Колмогорова (1941 г.) и Н. Винера [см. Wiener (1949)], с точки зрения вычислений они были гораздо менее удобными, чем рекуррентный подход, используемый в фильтре Калмана. Более того, для последнего переход к векторным и нестационарным процессам новых проблем, по существу, не создает. В настоящее время по калмановской фильтрации имеется обширная литература. Ряд книг и статей содержит доступное рассмотрение предмета. В монографиях [Kwakernaak and Si van (1972)] и [Gelb (1974)] предлагается хорошее введение в теорию на относительно элементарном математическом уровне. Более строгое математическое изложение дается в книге [Jazwinski (1970)]. Хорошая статья с подробной библиографией и историческим обзором — [Kailath (1974)]. Интересное изложение теории с углубленной проработкой отдельных вопросов содержится в [Willens (1978)]. В [Harrison and Stevens (1976)] представлена калмановская фильтрация с байесовской точки зрения Более детальную информацию, касающуюся библиографии, можно найти в разделе 20.9.

Приложения фильтра Калмана разнообразны и многочисленны; возможно, что самым знаменитым было его применение в исторической миссии Аполлона-XI, когда он использовался в системе слежения за космическим кораблем и лунным модулем. Помимо аэрокосмической техники и навигации (см., например, [Schmidt (1966); Bucy and Joseph

(1968)]), об использовании калмановской фильтрации сообщалось в управлении производственными процессами [см. Mehra and Wells (1971); Bohlin (1976)], в теории связи [см. Snyder (1969)], в экономике и социально-экономических исследованиях [см. Stevens (1974); Athans (1974); Mehra (1978)], в прогнозировании циклонов [см. Takeuchi (1976)], гидрологии и анализе водных ресурсов [см. Chiu (1978); Wood and Szollosi-Nagy (1980); O’Connell (1980); IAHS (1980)]. Именно на последнюю из перечисленных областей приложений мы будем ориентироваться в настоящем изложении калмановской фильтрации. При этом будет приниматься во внимание, что потенциальные пользователи, возможно, имеют весьма скромную подготовку в теории вероятностей, статистике и матричной алгебре.

По-видимому, читателю будет полезно получить качественное описание, каким образом фильтр Калмана может быть использован в гидрологии. Чтобы обеспечить базу для системы принятия решений по краткосрочному прогнозу и управлению водными потоками, все чаще применяются схемы непрерывного мониторинга, осуществляющие передачу в центральный компьютер результатов измерений количества осадков и расхода воды (т. е. объема, протекающего через сечение реки в единицу времени) в различных точках речного бассейна. Как правило, данные о количестве осадков затем поступают в модель, связывающую количество осадков с расходом воды, которая может быть использована для прогноза речного потока. Однако общепризнано, что измерения как уровня осадков, так и водного расхода (в особенности первая группа измерений) производятся с ошибками, в силу чего требуется метод удаления шума. Кроме того, специфика задачи такова, что в каждый момент времени становятся известными все новые данные о расходе и осадках, которые желательно учесть в модельном прогнозе рекуррентным образом. Фильтр Калмана удовлетворяет обоим указанным требованиям и к тому же дает возможность оценить величину неопределенности прогноза будущего расхода. Поскольку фильтр Калмана представляет собой рекуррентный алгоритм, он особенно удобен для применения в реальном масштабе времени.

В разделе 20.2 вводятся модели в фазовом пространстве, обеспечивающие необходимый формализм для применения фильтра Калмана. Их формулировка иллюстрируется простым примером дискретной линейной задачи. Раздел 20.3 содержит теорию дискретных линейных уравнений фильтра Калмана; приводимый вариант вывода уравнений дает возможность понять суть функционирования фильтра. Качество функционирования фильтра изучается в разделе 20.4, где описываются некоторые статистические тесты, а также обсуждается проблема расходимости фильтра. Раздел 20.5 посвящен применению фильтра Калмана к непрерывному времени и нелинейным системам; последний случай приводит к обобщенному фильтру Калмана. Во многих

прикладных задачах структура и параметры модели в фазовом пространстве неизвестны, поэтому в разделе 20.6 описаны некоторые процедуры для идентификации модели и оценки параметров. Два варианта применения фильтра Калмана, один в линейном, а другой в нелинейном случае, приводятся в разделе 20.7. Оба касаются задачи прогнозирования величины водного стока по количеству осадков в режиме реального времени. Заключительные замечания даны в разделе 20.8. Литература приведена в разделе 20.9.

Некоторые замечания по поводу обозначений. В настоящей главе читатель увидит, что обозначения векторов и матриц не имеют отличий от обозначений скалярных величин. Однако из контекста всегда будет ясно, что обозначает тот или иной символ. Транспонированный к вектору х будет обозначаться аналогично есть матрица, полученная транспонированием матрицы А.

Дисперсия или ковариационная матрица векторной случайной величины х, для которой в литературе употребляются различные символы, будет обозначаться