11.3. СПЕЦИФИКАЦИЯ И ОТБОР МОДЕЛЕЙ

11.3.1. ПОДПРОСТРАНСТВА

Линейные комбинации. Пусть — векторы в -мерном пространстве [см. определение 11.1.1] и — скаляры (действительные числа), тогда

есть линейная комбинация от

Примеры:

— это все линейные комбинации

2) в шестимерном пространстве любой вектор может быть записан как линейная комбинация шести единичных индикаторных векторов

3) линейный предиктор есть линейная комбинация объясняющих векторов.

Оболочка. Оболочкой называется множество всех линейных комбинаций векторов Любой вектор в этом множестве может быть записан в виде для некоторых

Примеры:

1) в шестимерном пространстве два первых единичных индикаторных вектора будут Любой вектор из может быть записан в виде но в то же время не содержит вектора Нулевой вектор принадлежит к

2) чтобы определить, включен ли объясняющий вектор в подгоняемую модель, достаточно проверить, принадлежит ли линейный предиктор или

Подпространства. Пусть через обозначено подмножество векторов в -мерном пространстве. Предположим, что принадлежат . Тогда будет подпространством, если принадлежит и б) принадлежит

Пример. В трехмерном пространстве оболочка есть подпространство, поскольку если то

— линейная комбинация и также принадлежащая Аналогично лежит в Итак, представляет собой подпространство. Геометрически это плоскость,

которая проходит через начало координат под прямым углом к третьей оси. Вообще легко видеть, что оболочка всегда является подпространством.

Размерность. Размерность подпространства будем обозначать как Размерность есть минимальное число векторов, необходимых для того, чтобы построить оболочку для . В трехмерном пространстве

Сумма двух подпространств. Пусть — два подпространства. Суммой будет множество векторов которые могут быть записаны в виде где Легко видеть, что сумма — также подпространство. Приведем некоторые примеры.

1) Если то — здесь индикаторные векторы в шестимерном пространстве). Заметим, что

2) Вообще, если то

Произведение подпространств. Пусть и — два подпространства. Их произведением называется оболочка векторов которые могут быть представлены в виде покоординатного (поточечного) произведения векторов где [см. раздел 11.1.1]. В частности, если то их произведение Например, если то так как Аналогично, если в четырехмерном пространстве рассмотреть векторы и определить то Чтобы увидеть это, отметим, что

Множество векторов где вообще говоря, не является подпространством. Снова рассмотрим пример для четырехмерного пространства с Тогда так что могут быть записаны в виде произведений. Однако . С другой стороны, и отсутствует решение, такое, чтобы