16.4.3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
В отличие от анализа главных компонент, факторный анализ (или разложение матрицы V) нечувствителен к изменению шкал переменных. Это легко увидеть, умножая каждую переменную
на константу
и переписывая затем факторную модель и соответствующую ей декомпозицию матрицы V. В частности, предположим, что
Тогда условия на средние значения, дисперсии и ковариации факторов и ошибок не изменятся, хотя факторная модель теперь включает факторные нагрузки вида
и дисперсии ошибок
При таком преобразовании ковариационная матрица X становится матрицей корреляций
Из этого следует, что
и
Уравнение (16.4.1а) дает соотношение между дисперсией преобразованной ошибки и факторными нагрузками. Число к должно быть выбрано так, чтобы обеспечить неотрицательность величин
Хотя факторный анализ инвариантен к преобразованиям шкал, факторное решение не является единственным. Если В — ортогональная матрица размера
то общая факторная модель
может быть переписана в виде
(так как
), что можно рассматривать как модель с факторными нагрузками
и факторами
Предположения о случайных переменных, сделанные для исходной матрицы, не нарушаются при таком преобразовании. Разложение матрицы будет, как и прежде, иметь вид
Это означает, что имеется бесконечное число факторных нагрузок, удовлетворяющих исходным предположениям модели. Эта трудность может быть преодолена [см. Lawley and Maxwell (1971), с. 7—11] введением ограничений на
, таких, как диагональность матрицы
(Это, конечно, предполагает, что
единственна.)
В факторном анализе делается попытка декомпозиции ковариационной матрицы V, содержащей
параметров, в две матрицы: матрицу
содержащую
параметров, и матрицу
, содержащую
параметров. Ограничение такое, как, например (16.4.2), накладывает
связей между параметрами
. Экономное представление внутренних связей между компонентами X будет,
следовательно, получено, если разность
между числом параметров в V и числом эффективных параметров модели совместно с числом ограничений будет положительной, что дает
Для модели, основанной на корреляционной матрице, значение
будет тем же, несмотря на соотношение (16.4.1а), поскольку число параметров в
будет
Если
решение для
может быть получено. Однако это приведет только к новому представлению зависимостей между компонентами X, которое содержит такое же количество параметров, как и исходное. К сожалению, в случае экономного представления точное решение отсутствует.