16.4.3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА

В отличие от анализа главных компонент, факторный анализ (или разложение матрицы V) нечувствителен к изменению шкал переменных. Это легко увидеть, умножая каждую переменную на константу и переписывая затем факторную модель и соответствующую ей декомпозицию матрицы V. В частности, предположим, что Тогда условия на средние значения, дисперсии и ковариации факторов и ошибок не изменятся, хотя факторная модель теперь включает факторные нагрузки вида и дисперсии ошибок При таком преобразовании ковариационная матрица X становится матрицей корреляций Из этого следует, что

и

Уравнение (16.4.1а) дает соотношение между дисперсией преобразованной ошибки и факторными нагрузками. Число к должно быть выбрано так, чтобы обеспечить неотрицательность величин

Хотя факторный анализ инвариантен к преобразованиям шкал, факторное решение не является единственным. Если В — ортогональная матрица размера то общая факторная модель

может быть переписана в виде

(так как ), что можно рассматривать как модель с факторными нагрузками и факторами Предположения о случайных переменных, сделанные для исходной матрицы, не нарушаются при таком преобразовании. Разложение матрицы будет, как и прежде, иметь вид

Это означает, что имеется бесконечное число факторных нагрузок, удовлетворяющих исходным предположениям модели. Эта трудность может быть преодолена [см. Lawley and Maxwell (1971), с. 7—11] введением ограничений на , таких, как диагональность матрицы

(Это, конечно, предполагает, что единственна.)

В факторном анализе делается попытка декомпозиции ковариационной матрицы V, содержащей параметров, в две матрицы: матрицу содержащую параметров, и матрицу , содержащую параметров. Ограничение такое, как, например (16.4.2), накладывает связей между параметрами . Экономное представление внутренних связей между компонентами X будет,

следовательно, получено, если разность между числом параметров в V и числом эффективных параметров модели совместно с числом ограничений будет положительной, что дает

Для модели, основанной на корреляционной матрице, значение будет тем же, несмотря на соотношение (16.4.1а), поскольку число параметров в будет

Если решение для может быть получено. Однако это приведет только к новому представлению зависимостей между компонентами X, которое содержит такое же количество параметров, как и исходное. К сожалению, в случае экономного представления точное решение отсутствует.