18.5.4. СВОЙСТВА СПЕКТРА И АКФ
Из соотношения (18.5.15) непосредственно следует неравенство
так как выборочный спектр или периодограмма по определению неотрицательны. В остальном спектр может быть любой достаточно гладкой непрерывной функцией. Непрерывность спектра — следствие нашего условия
. В свою очередь это условие выполняется, если функция
достаточно гладкая. Таким образом, спектр является естественным способом описания структуры стационарного временного ряда. Широкие пики в спектре соответствуют нерегулярным циклам, а узкие пики — более регулярным циклам, которые на малых выборках будет трудно отличить от детерминированных циклов. В самом деле, подобные детерминированные компоненты, если их заранее не исключили из ряда, должны рассматриваться как дискретная часть спектра по аналогии с дискретными вероятностными распределениями и в противоположность непрерывной спектральной плотности
Ряд с дискретной и непрерывной компонентами имеет смешанный спектр, примером может служить рассмотренный в разделе 18.2.2 ряд звездной величины переменной звезды, который будет ниже рассматриваться в разделе 18.11.
В противоположность спектру АКФ удовлетворяет обычным ограничениям на корреляции. Эти ограничения можно резюмировать, рассматривая корреляционную матрицу
[см. определение 16.1.1] для
последовательных членов ряда, скажем,
Условие положительной определенности [см. определение 16.1.3] этой довольно просто устроенной матрицы при любом
является необходимым и достаточным для того, чтобы набор значений
был АКФ некоторого стационарного временного ряда, и это условие в точности эквивалентно условию положительности спектра. Возьмем в качестве примера
удовлетворяющую условию
при
. В этом случае диапазон возможных значений для
— это интервал
Это следует, например, из формулы для спектра
который дает отрицательные значения