18.5.4. СВОЙСТВА СПЕКТРА И АКФ

Из соотношения (18.5.15) непосредственно следует неравенство так как выборочный спектр или периодограмма по определению неотрицательны. В остальном спектр может быть любой достаточно гладкой непрерывной функцией. Непрерывность спектра — следствие нашего условия . В свою очередь это условие выполняется, если функция достаточно гладкая. Таким образом, спектр является естественным способом описания структуры стационарного временного ряда. Широкие пики в спектре соответствуют нерегулярным циклам, а узкие пики — более регулярным циклам, которые на малых выборках будет трудно отличить от детерминированных циклов. В самом деле, подобные детерминированные компоненты, если их заранее не исключили из ряда, должны рассматриваться как дискретная часть спектра по аналогии с дискретными вероятностными распределениями и в противоположность непрерывной спектральной плотности Ряд с дискретной и непрерывной компонентами имеет смешанный спектр, примером может служить рассмотренный в разделе 18.2.2 ряд звездной величины переменной звезды, который будет ниже рассматриваться в разделе 18.11.

В противоположность спектру АКФ удовлетворяет обычным ограничениям на корреляции. Эти ограничения можно резюмировать, рассматривая корреляционную матрицу [см. определение 16.1.1] для последовательных членов ряда, скажем,

Условие положительной определенности [см. определение 16.1.3] этой довольно просто устроенной матрицы при любом является необходимым и достаточным для того, чтобы набор значений был АКФ некоторого стационарного временного ряда, и это условие в точности эквивалентно условию положительности спектра. Возьмем в качестве примера удовлетворяющую условию при . В этом случае диапазон возможных значений для — это интервал Это следует, например, из формулы для спектра который дает отрицательные значения

на одном из концов интервала , если неравенство не выполняется. Если для то не может превосходить , и это значение достижимо лишь при . Значения полученные для первой разности ряда продолжительности дня и равные соответственно 0,76 и 0,52, заметно выходят за допустимые пределы, даже с учетом случайных флуктуаций, и свидетельствуют о необходимости ослабить предположение при