18.6.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И СПЕКТР

Влияние линейных операторов на корреляционную структуру ряда довольно просто. Предположив, что ряд в (18.6.4) стационарен с мы непосредственно получаем

что можно более удобно записать в виде, аналогичном (18.6.6):

где В теперь действует на индекс к. Вычисляя произведение

где

мы получаем симметричный линейный фильтр, связывающий ковариационные функции:

Например, если

односторонний трехточечный фильтр с равными весами, так что

то

и

фильтр, захватывающий пять значений.

Влияние линейного оператора на спектр можно выразить простой формулой:

Это интуитивно означает, что применение линейного оператора приводит к умножению дисперсии каждой частотной компоненты ряда на квадрат коэффициента усиления, отвечающего данной частоте. Для доказательства (18.6.25) введем производящую функцию для ковариации

(формально сходную с производящей функцией вероятностного распределения, см. II, раздел 12.1). В ее терминах (18.6.22) эквивалентно соотношению

Подставим далее и используем тот факт, что

и

Опуская множитель мы получаем отсюда (18.6.25). Полезно также следующее соотношение:

иначе говоря, — тригонометрический ряд. Например, для фильтра (18.6.23) квадрат коэффициента усиления равен

В частном случае переписывая (18.6.1) как

мы видим, что формула для ковариации (18.6.3) — частный случай (18.6.22). Поскольку , спектр пропорционален коэффициенту усиления для оператора и из (18.6.25) имеем