20.5. КАЛМАНОВСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

20.5.1. СИСТЕМЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

До настоящего момента мы рассматривали только дискретные системы. Хотя некоторые системы эволюционируют дискретно (например, цены на фондовой бирже), многие системы изменяются непрерывно (например, водный расход в реке) и естественным образом должны описываться случайным процессом , где — вещественное неотрицательное число. Процесс который содержит всю интересующую нас информацию о непрерывно эволюционирующей

системе, называется состоянием системы, если его можно представить в виде уравнения

где — производная по времени Здесь — (непрерывный) процесс шума. Из соотношения (20.5.1) эволюция во все моменты, следующие за полностью описывается значением и шумом, который предполагается непредсказуемым по траекториям . В некоторых случаях сопровождается непрерывными (зашумленными) измерениями (например, сигнал в приемнике и т. хотя в большинстве ситуаций доступны только измерения в дискретные моменты времени:

В непрерывном времени система является линейной и гауссовской, если уравнение, описывающее ее поведение, имеет следующий вид:

где — винеровский (гауссовский) процесс [см. II, пример 22.1.1], означает инфинитезимальные приращения есть так называемый непрерывный гауссовский белый шум). С этой линейной системой связан процесс измерений в дискретные моменты времени и с гауссовским шумом измерений:

При заданных измерениях можно оценить (задача фильтрации) или (задача сглаживания), или (задача прогноза). Однако если нужны только оценки в дискретные моменты времени то указанная задача может быть заменена на стандартную линейную дискретную задачу калмановской фильтрации. Чтобы сделать это, уравнение (20.5.2) заменяется на разностное уравнение

где

причем последовательность является гауссовской.

Далее можно применить стандартный линейный фильтр Калмана и получить обычные оценки состояния вместе с ковариационными матрицами ошибок. Более подробно эти проблемы описаны в работах [Jazwinski (1970)] и [Gelb (1974)].